משתמש:Gadial/ארגז חול/סכום של שני ריבועים

הבעיה של הצגת מספר נתון כסכום של שני ריבועים, כלומר בצורה $\ a^{2}+b^{2}$, היא מן הבעיות הקלאסיות בתורת המספרים. הבעיה נזכרת בכתבי דיופנטוס, שניסח אותה באופן גאומטרי: בהינתן מספר x, למצוא משולש ישר זווית בעל צלעות שלמות או רציונליות שאורך היתר שלו הוא x. פרמה טען (ללא הוכחה) שאפשר להציג מספר שלם כסכום של שני ריבועים, אם ורק אם אין לו גורם ראשוני מהצורה 4p-1, המופיע בחזקה אי-זוגית. תוצאה זו, שאותה חקר והוכיח לאונרד אוילר, נקראת לפעמים "משפט שני הריבועים של פרמה".

היסטוריה

ב- 1225 הציג והוכיח פיבונאצ'י את נוסחת המכפלה $\ (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac\pm bd)^{2}+(ad\mp bc)^{2}$, שהייתה מוכרת כנראה כבר לדיופנטוס, למרות שהלה לא ניסחה במפורש. מן הנוסחה עולה שכדי להציג מספר נתון כסכום של שני ריבועים שלמים, די להציג באופן הזה את גורמיו הראשוניים; אז אפשר להעזר בנוסחה כדי לקבל הצגות עבור המכפלה. לדוגמה, מן ההצגות $\ 3^{2}+2^{2}=13$ ו- $\ 1^{2}+2^{2}=5$, אפשר לקבל את $\ 8^{2}+1^{2}=4^{2}+7^{2}=65$.

ב- 1638 הציע פרמה לדקארט להוכיח שלא ניתן להציג מספר מן הצורה $\ 4k-1$ כסכום של שני ריבועים. כעבור ימים ספורים שלח דקארט את הבעיה ופתרונה למרסן: הריבוע של כל מספר שלם הוא מן הצורה $\ 4m$ או $\ 8m+1$. ב-1659 כתב פרמה לפסקל שהוא מצא הוכחה לכך שניתן להציג כל ראשוני מהצורה 4k+1 כסכום של שני ריבועים, בשיטה של נסיגה אינסופית.

פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-1670 קובץ הערות על הספר "אריתמטיקה" של דיופנטוס, התייחס גם למשוואה $\ a^{2}+b^{2}=n$. פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם $\ n=p^{k}$ ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק $\ [{\frac {k+1}{2}}]$ פתרונות. בעזרת נוסחת המכפלה, הציג פרמה שיטה למציאת מספרים שיש להם בדיוק m הצגות כסכום של שני ריבועים.

ב- 1747, במכתב לגולדבך, הוכיח לאונרד אוילר שאם a ו- b זרים, אז כל גורם של $\ a^{2}+b^{2}$ ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים. ההוכחה, המתאימה לתיאורו של פרמה על נסיגה אינסופית (ראו להלן), היא הראשונה שעל קיומה יש ראיות ברורות. כדי להשלים את ההוכחה יש להראות גם כי כל מספר ראשוני מהצורה $\ 4k+1$ הוא גורם של מספר מהצורה $\ a^{2}+b^{2}$ שלעיל; רק ב-1749 הוכיח זאת אוילר ובכך השלים למעשה את הוכחת המשפט. אוילר עסק בבעיה זו פעמים רבות, ובאחת ההזדמנויות (ספרו "אלגברה", 1770) העיר שאת נוסחת המכפלה אפשר להוכיח באמצעות חישוב הנורמה המרוכבת של המכפלה $\ (a+b{\sqrt {-1}})(c+d{\sqrt {-1}})$. היום ידוע שאפשר להוכיח את כל התכונות הרצויות של התבנית $\ x^{2}+y^{2}$ בעזרת האוקלידיות של חוג השלמים של גאוס, $\ \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$.

המשפט הכללי נובע מיידית מהמשפט עבור ראשוניים ונוסחת המכפלה; ראשית, אם למספר כלשהו יש גורם ראשוני מהצורה $\ 4k-1$ בחזקה אי זוגית נובע מכך כי המספר עצמו יהיה מהצורה $\ 4k-1$ וכפי שדקארט הראה, מספר שכזה אינו יכול להיכתב כסכום של שני ריבועים. בכיוון השני, אם כל גורמיו של מספר הם ראשוניים מהצורה $\ 4k+1$ וריבועים של ראשוניים מהצורה $\ 4k-1$, הרי שניתן להציג את המספר כולו כמכפלה של איברים שכל אחד מהם הוא סכום של שני ריבועים, שכן על פי אוילר כל ראשוני מהצורה $\ 4k+1$ ניתן להציג כסכום שני ריבועים, וכל ריבוע $\ x^{2}$ ניתן להצגה באופן טריוויאלי בתור הסכום $\ x^{2}+0^{2}$.

הוכחה באמצעות נסיגה

ניסוח מודרני

יהי p מספר ראשוני השקול ל- 1 מודולו 4. ידוע ש- 1- הוא שארית ריבועית מודולו p, כלומר, קיים x כך ש- $\ x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}$. אם בוחרים x קטן (בערכו המוחלט) ככל האפשר, מתקבלת הצגה $\ x^{2}+1=mp$ כאשר $\ m<p/4$. נתבונן בהצגה $\ x^{2}+y^{2}=mp$ שבה x,y אינם מתחלקים ב- p, כאשר $\ 1\leq m$ הוא הקטן ביותר האפשרי, ונניח (בשלילה) ש- m>1. בחילוק עם שארית אפשר לכתוב $\ x=mc+x_{1},\,y=md+y_{1}$, כאשר $\ |x_{1}|,|y_{1}|\leq m/2$. כך יוצא ש- $\ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\equiv 0{\pmod {m}}$, אבל $\ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<m^{2}$. מכאן ש- $\ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=mm_{1}$ עבור $\ 1\leq m_{1}<m$.

מנוסחת המכפלה יוצא ש- $\ m^{2}m_{1}p=(x^{2}+y^{2})(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})=(xx_{1}+yy_{1})^{2}+(xy_{1}-x_{1}y)^{2}$, אבל שני הגורמים $\ xx_{1}+yy_{1},\,xy_{1}-x_{1}y$ מתחלקים ב- m. לאחר שמחלקים את המשוואה ב- $\ m^{2}$ מתקבלת הצגה של $\ m_{1}p$, בסתירה להנחה ש- m היה מינימלי.

הוכחתו של אוילר

ניתן לחלק את הוכחתו של אוילר לשני שלבים: שלב הנסיגה (הדומה באופיו, ככל הנראה, להוכחה המקורית והלא ידועה של פרמה) ושלב ההדדיות. שלב הנסיגה, שהוכחתו הושלמה ב-1747, מראה כי אם ראשוני מחלק מספר מהצורה $\ a^{2}+b^{2}$ עם $\ a,b$ זרים אז הוא עצמו ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים; ושלב ההדדיות, שהוכח ב-1749, מראה כי כל ראשוני מהצורה $\ 4k+1$ אכן מחלק מספר שכזה.

בלב שלב הנסיגה מצויה האבחנה הבאה: אם $\ N=a^{2}+b^{2}$ עם $\ a,b$ זרים ואם $\ q=x^{2}+y^{2}$ הוא גורם ראשוני של $\ N$, אז גם $\ N/q$ ניתן להצגה כסכום שני ריבועים זרים. בהינתן ש-$\ p|a^{2}+b^{2}$ ניתן לבחור את $\ a,b$ כך שעדיין יהיו זרים ויקיימו $\ |a|,|b|<p/2$, כך שיתקיים $\ N=a^{2}+b^{2}<p^{2}/2$ ו-$\ p|N$. מכאן עולה שכל גורם ראשוני $\ q\neq p$ של $\ N$ בהכרח קטן מ-$\ p$ (אחרת היה מתקיים $\ N\geq pq>p^{2}$). אם כל הגורמים $\ q$ הללו ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים, ואז ניתן לחלק את $\ N$ בכולם ולקבל (באמצעות האבחנה שלעיל) שמה שנותר, $\ p$ עצמו, הוא סכום של שני ריבועים. אם לעומת זאת קיים גורם $\ q<p$ שאינו ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים ניתן לשוב ולהשתמש באותו טיעון גם עליו ולקבל ראשוני הקטן ממנו שאינו ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים, וכך שוב ושוב עד אינסוף, מה שיוצר סדרה אינסופית יורדת של ראשוניים - סתירה.

שלב ההדדיות ניתן להוכחה מיידית בימינו מכיוון שידוע כי $\ -1$ הוא שארית ריבועית מודולו $\ p$ השקול ל-1 מודולו 4 (ולכן $\ p|x^{2}+1^{2}$) ; בתקופתו של אוילר המושג של שארית ריבועית טרם נחקר בצורה יסודית והוכחתו המקורית התבססה על חקירת הפולינום $\ f(x)=x^{4k}-1$ מודולו $\ p=4k+1$. על פי המשפט הקטן של פרמה פולינום זה הוא זהותית אפס; מצד שני, ניתן לפרק אותו למכפלה $\ (x^{2k}-1)(x^{2k}+1)$, כך שקיום ערך בודד של $\ x$ שאינו מאפס את $\ x^{2k}-1$ מודולו $\ p$ גורר שמתקיים $\ p|(x^{k})^{2}+1^{2}$. ניתן להראות כי קיים ערך כזה של $\ x$ בעזרת האבחנה שמספר השורשים המקסימלי של $\ x^{2k}-1$ מעל השדה $\ \mathbb {Z} _{p}$ הוא לכל היותר $\ 2k$; אוילר השתמש בשיטות של חשבון הפרשים כדי להראות שאם כל ערך של $\ x$ מאפס את $\ x^{2k}-1$ אז בהכרח $\ p|(2k)!$ - סתירה.

הרחבות של המשפט

במכתבו של פרמה לפסקל הוא הזכיר גם שני משפטים נוספים: שניתן לכתוב כל מספר ראשוני ששקול ל-1,3 מודולו 8 בתור הסכום $\ a^{2}+2b^{2}$, ושניתן לכתוב את 3 וכל מספר ראשוני השקול ל-1 מודולו 3 בתור הסכום $\ a^{2}+3b^{2}$. משפטים אלו הם מקרים פרטיים של השאלה הכללית, מתי ניתן להציג ראשוני כסכום מהצורה $\ a^{2}+nb^{2}$ עבור $\ n$ טבעי כלשהו.

נוסחת המכפלה ניתנת להכללה לתבנית מהצורה $\ a^{2}+nb^{2}$ (דהיינו, מכפלה של שני מספרים מצורה זו ניתנת לכתיבה גם היא בצורה זו: $\ (a^{2}+nb^{2})(c^{2}+nd^{2})=(ac\pm nbd)^{2}+n(ad\mp bc)^{2}$). בעזרת נוסחה זו, שלב הנסיגה בהוכחת אוילר ניתן לניסוח והוכחה כמעט זהים עבור המקרים שבהם $\ n=2,3$, כפי שאוילר עצמו הבחין. שלבי ההדדיות, לעומת זאת, דורשים שיטות שונות, ואוילר סיים את הוכחתם רק בשנת 1772; בניסוח מודרני, ניתן לנסח אותם באמצעות השאלה מתי $\ -2,-3$ הם שאריות ריבועיות מודולו $\ p$, כשהאפיון המדוייק של ערכי ה-$\ p$ המתאימים נובע ממשפט ההדדיות הריבועית.

עבור ערכים גדולים יותר של $\ n$, שלב הנסיגה אינו נכון יותר. אינטואיציה לסיבה לכשלונו ניתן לקבל מהשלב בהוכחה שבו מניחים כי $\ |a|,|b|<p/2$ ומסיקים מכך כי $\ a^{2}+b^{2}<p^{2}$; טענה זו תקפה גם עבור $\ a^{2}+2b^{2},a^{2}+3b^{2}$ אך אינה נכונה יותר כאשר $\ n\geq 5$ (המקרה שבו $\ n=4$ ניתן לצמצום למקרה שבו $\ n=1$).

ראו גם

• משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'
• משפט הורוויץ על נוסחאות מכפלה
• תבנית ריבועית

לקריאה נוספת

• History of the Theory of Numbers, Vol. II, Chapter IV: sum of two squares; L.E.Dickson, 1920.
• Intoroduction to the Theory of Numbers, G.H. Hardy & E.M. Wright, Chapter XX, The representation of a number by two or four squares, 1979.
• D. A. Cox (1989). Primes of the Form x²+ny². Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.

קטגוריה:תורת המספרים קטגוריה:משוואות דיופנטיות