משתמש:לימון לימון/טיוטה

שאלה על טורים

זאת הסדרה שהם הגדירו:

$a_{4n-3}={\frac {1}{n}}$

$a_{4n-2}=-{\frac {1}{3n}}$

$a_{4n-1}=-{\frac {1}{3n}}$

$a_{4n}=-{\frac {1}{3n}}$

בעיקרון כשיש לך טור כזה שההגדרה שלו מפוצלת לאיברים זוגיים ואי-זוגיים או דברים מהסוג הזה אז בדרך כלל נוח להסתכל על תת-סדרות מתאימות של סדרת הסכומים החלקיים. למשל כאן נסתכל על תת-הסדרות:

$S_{4k}$

$S_{4k+1}$

$S_{4k+2}$

$S_{4k+3}$

את צריכה לבדוק כל אחת מהתת-סדרות האלה אם היא מתכנסת או לא, ואם כן אז מה הגבול שלה. אם כולן מתכנסות לאותו גבול אז גם הסדרה המקורית מתכנסת לגבול הזה (כי אם את זוכרת למדנו בסדרות שאם יש לך כמה תת-סדרות שמכסות את כל איברי הסדרה אז הסדרה מתכנסת אם ורק אם כל התת-סדרות האלה מתכנסות לאותו גבול). לעומת זאת אם אחת מהתת-סדרות האלה לא מתכנסת או שהן מתכנסות לגבולות שונים אז הסדרה המקורית (שהיא להזכירך סדרת הסכומים החלקיים של הטור) לא מתכנסת ולכן הטור מתבדר.

נבדוק קודם את $S_{4k}$:

$S_{4k}=\sum _{j=1}^{k}\left(a_{4j-3}+a_{4j-2}+a_{4j-1}+a_{4j}\right)=\sum _{j=1}^{k}\left({\frac {1}{j}}-{\frac {1}{3j}}-{\frac {1}{3j}}-{\frac {1}{3j}}\right)=\sum _{j=1}^{k}\left({\frac {1}{j}}-3\cdot {\frac {1}{3j}}\right)=\sum _{j=1}^{k}\left({\frac {1}{j}}-{\frac {1}{j}}\right)=\sum _{j=1}^{k}0=0$

כלומר קיבלנו שבתת-הסדרה $S_{4k}$ כל האיברים הם אפס, ולכן הגבול שלה הוא אפס.

בשביל 3 תת-הסדרות האחרות משתמשים באריתמטיקה של גבולות. קל לראות שאיברי הטור המקורי שואפים לאפס, וראינו ש-$S_{4k}$ גם כן שואפת לאפס, ולכן:

$\lim _{k\to \infty }S_{4k+1}=\lim _{k\to \infty }\left(S_{4k}+a_{4k+1}\right)=0+0=0$

עם שתי תת-הסדרות האחרות רואים באותו אופן שהן שואפות לאפס, כלומר קיבלנו שכל 4 תת-הסדרות שואפות לאותו גבול ולכן גם הסדרה המקורית, שהיא סדרת הסכומים החלקיים של הטור, שואפת לאותו גבול (אפס) ולכן הטור מתכנס וסכומו הוא אפס.

עכשיו נסתכל על הטור שמוגדר בסעיף א' בשאלה, כלומר:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1}\left|a_{n}\right|$

נסמן ב-$b_{n}$ את איברי הטור וב-${\bar {S}}_{n}$ את סדרת הסכומים החלקיים שלו, וגם פה נגדיר 4 תת-סדרות:

${\bar {S}}_{4k}$

${\bar {S}}_{4k+1}$

${\bar {S}}_{4k+2}$

${\bar {S}}_{4k+3}$

נסתכל על ${\bar {S}}_{4k}$:

$b_{4k-3}=\left(-1\right)^{4k-2}\left|a_{4k-3}\right|=\left|{\frac {1}{k}}\right|={\frac {1}{k}}$

$b_{4k-2}=\left(-1\right)^{4k-1}\left|a_{4k-2}\right|=-\left|-{\frac {1}{3k}}\right|=-{\frac {1}{3k}}$

$b_{4k-1}=\left(-1\right)^{4k}\left|a_{4k-1}\right|=\left|-{\frac {1}{3k}}\right|={\frac {1}{3k}}$

$b_{4k}=\left(-1\right)^{4k+1}\left|a_{4k}\right|=-\left|-{\frac {1}{3k}}\right|=-{\frac {1}{3k}}$

לכן:

${\bar {S}}_{4k}=\sum _{j=1}^{k}\left(b_{4j-3}+b_{4j-2}+b_{4j-1}+b_{4j}\right)=\sum _{j=1}^{k}\left({\frac {1}{j}}-{\frac {1}{3j}}+{\frac {1}{3j}}-{\frac {1}{3j}}\right)=\sum _{j=1}^{k}\left({\frac {1}{j}}-{\frac {1}{3j}}\right)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {2}{3j}}$

אנחנו יודעים שהטור $\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {2}{3j}}$ מתבדר, לכן תת-הסדרה ${\bar {S}}_{4k}$ מתבדרת, ולכן גם הסדרה המקורית, שהיא סדרת הסכומים החלקיים של הטור, מתבדרת. כלומר הטור מתבדר.

שאלה על שדות

היי אז כמו שאמרתי לך יש משפט שהוא הוכיח בדיוק לפני השאלה ששלחת לי שאומר שלכל $x$ בשדה מתקיים:

$\left(-1\right)\cdot x=-x$

אז את יכולה להשתמש בזה על כל הביטויים שיש לך שם, לדוגמה:

$-\left(x\cdot y\right)=\left(-1\right)\cdot \left(x\cdot y\right)$

ואז את משתמשת באסוציאטיביות וקומוטטיביות של הכפל ואת מקבלת שכל הביטויים במשוואה ההיא שווים.

דברים למבחן

הגדרות שכדאי לדעת

1. שדה
2. מרחב וקטורי
3. קבוצה פורשת
4. קבוצה תלויה/בלתי-תלויה לינארית
5. בסיס, מימד
6. וקטור קואורדינטות
7. מטריצת מעבר בין בסיסים
8. סכום מרחבים וקטוריים
9. סכום ישר
10. העתקה לינארית
11. העתקה חד-חד-ערכית
12. העתקה "על"
13. איזומורפיזם
14. גרעין
15. תמונה
16. מטריצה מייצגת
17. דטרמיננטה
18. adjoint
19. ערך עצמי, וקטור עצמי
20. פולינום אופייני, ריבוי אלגברי
21. מרחב עצמי, ריבוי גיאומטרי
22. מטריצות דומות
23. מטריצה לכסינה
24. העתקה לכסינה

משפטים שכדאי לדעת

1. תת-קבוצה של מרחב וקטורי היא תת-מרחב אם ורק אם היא לא ריקה והיא סגורה לחיבור ולכפל בסקלר
2. כל קבוצה פורשת מינימלית במרחב היא בסיס למרחב
3. כל קבוצה בלתי-תלויה לינארית מקסימלית במרחב היא בסיס למרחב
4. כל קבוצה פורשת למרחב שמספר איבריה שווה למימד המרחב היא בסיס למרחב
5. כל קבוצה בלתי-תלויה לינארית במרחב שמספר איבריה שווה למימד המרחב היא בסיס למרחב
6. כל קבוצה בלתי-תלויה לינארית ניתן להשלים לבסיס (חשוב: צריך לצטט את המשפט הזה כל פעם שיש קבוצה בלתי-תלויה לינארית ומשלימים אותה לבסיס)
7. כל קבוצה פורשת מכילה בסיס
8. קבוצה במרחב שמספר איבריה גדול ממימד המרחב היא בהכרח תלויה לינארית
9. סכום מרחבים וקטוריים הוא תמיד מרחב וקטורי
10. חיתוך מרחבים וקטוריים הוא תמיד מרחב וקטורי
11. איחוד מרחבים וקטוריים הוא מרחב וקטורי אם ורק אם אחד מהם מוכל בשני
12. $dim\left(U+W\right)=dim\left(U\right)+dim\left(W\right)-dim\left(U\cap W\right)$
13. אם $U\cap W=\left\{0\right\}$ אז הסכום $U+W$ הוא ישר
14. אם $V=U\oplus W$ אז $dim\left(V\right)=dim\left(U\right)+dim\left(W\right)$
15. אם $V=U\oplus W$ אז איחוד בסיסים של $U$ ו-$W$ הוא בסיס של $V$
16. אם $T$ העתקה לינארית אז $T\left(0\right)=0$
17. העתקה לינארית $T$ היא חד-חד-ערכית אם ורק אם $Ker\left(T\right)=\left\{0\right\}$
18. העתקה היא הפיכה אם ורק אם היא חד-חד-ערכית ועל
19. משפט המימד: אם $T\colon U\to V$ העתקה לינארית אז $dim\left(U\right)=dim\left(Ker\left(T\right)\right)+dim\left(Im\left(T\right)\right)$
20. אם $v_{1},...,v_{n}$ וקטורים ו-$\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ סקלרים אז $\left[\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}\right]_{B}=\alpha _{1}\left[v_{1}\right]_{B}+...+\alpha _{n}\left[v_{n}\right]_{B}$
21. אם $T\colon U\to V$ העתקה לינארית, $B$ בסיס של $U$ ו-$C$ בסיס של $V$ אז לכל $u\in U$ מתקיים $\left[T(u)\right]_{C}=\left[T\right]_{B}^{C}\left[u\right]_{B}$

שאלה על מלבן

קודם כל את רואה שמדברים על אורך ורוחב של מלבן ולא נתון לך מהם, אז נסמן את האורך ב-$x$ ואת הרוחב ב-$y$. עכשיו אומרים לך שמשנים את האורך והרוחב בצורה מסויימת, ושהשטח של המלבן משתנה בהתאם לפי מה שנתון. אז את הולכת שלב שלב ומבטאת את הנתונים בעזרת מה שסימנת (ואם חסר איזשהו סימון אז את פשוט מוסיפה אותו... נגיד אם אומרים משהו על הגובה של משולש למשל ואת לא יודעת מהו אז פשוט תסמני אותו באיזו אות ותמשיכי כרגיל).

• השטח הנוכחי של המלבן הוא $x\cdot y$
• האורך $x$ מוגדל ב-$10\%$, אז האורך החדש יהיה ${\frac {110}{100}}\cdot x$
• הרוחב מוקטן ב-$a\%$, אז הרוחב החדש הוא $\left(1-{\frac {a}{100}}\right)\cdot y$
• שטח המלבן יוקטן ב-$1\%$, כלומר השטח החדש יהיה ${\frac {99}{100}}\cdot x\cdot y$

עד לפה כל מה שעשינו זה לסמן את האורך והרוחב ולבטא את הנתונים בעזרת הסימונים האלה. השלב הבא זה לבדוק איזה מהנתונים קשורים אחד לשני, במקרה הזה נתון לך מצד אחד שהשטח החדש של המלבן הוא ${\frac {99}{100}}\cdot x\cdot y$. מצד שני השטח הזה שווה לאורך החדש כפול הרוחב החדש, כלומר $\left({\frac {110}{100}}\cdot x\right)\cdot \left(\left(1-{\frac {a}{100}}\right)\cdot y\right)$. מכיוון ששניהם מייצגים אותו דבר (השטח החדש של המלבן) הם שווים, ולכן יש לך משוואה:

${\frac {99}{100}}\cdot x\cdot y=\left({\frac {110}{100}}\cdot x\right)\cdot \left(\left(1-{\frac {a}{100}}\right)\cdot y\right)$

שימי לב שהביטוי $x\cdot y$ מצטמצם בשני האגפים ונשארת לך משוואה רק עם $a$, שהפיתרון שלה הוא (כנראה) 10.

שאלה על אופנוע

אופנוען התעכב במחסום למשך 24 דקות. בהמשך הנסיעה הגדיל את מהירותו הקבועה ב-10 קמ"ש ולאורך 80 ק"מ נוספים (החל מן המחסום) הדביק את פיגור הזמן שנוצר. מה הייתה מהירות נסיעתו לפני הגיעו למחסום?

האמת שהניסוח פה קצת מבלבל אז אני אנסה לנסח את זה מחדש:

אופנוען נסע במהירות מסויימת עד שהוא הגיע למחסום.

במחסום עיכבו אותו שוטרים מניאקים למשך 24 דקות ואחרי זה הוא היה עצבני אז הוא נסע 10 קמ"ש מהר יותר.

הוא נסע ככה במשך 80 ק"מ, ואחרי 80 ק"מ הוא הגיע לנקודה שבה הוא היה אמור להיות באותו הזמן במהירות המקורית אם לא היו מעכבים אותו. כלומר אחרי 80 ק"מ הוא "הדביק את פער הזמן שנוצר".

(דרך אגב אם במבחן יש לך כלמיני שאלות כאלה עם ניסוחים מוזרים שאת לא מבינה מה רוצים ממך אז בדרך כלל יש שם מישהו שאפשר לשאול)

בכל מקרה גם פה ננסה לעבור על הנתונים ולסמן מה שצריך:

• נסמן את המהירות המקורית של האופנוע ב-$x$
• נבדוק קודם איך הוא היה אמור לנסוע בלי העיכוב במחסום. המהירות שלו היא $x$, והוא נסע בה מרחק של 80 קילומטר, אז הזמן שאמור היה לקחת לו הוא ${\frac {80}{x}}$
• במקום זה הוא עוכב במחסום למשך 24 דקות (כלומר ${\frac {2}{5}}$ שעה - חשוב מאוד לשים לב מתי הנתון הוא בדקות ומתי בשעות ולהעביר מאחד לשני כדי שיתאים לשאר הנתונים, פה הכל בקמ"ש אז נוח לעבוד עם שעות) ואחר כך הוא עבר את אותם 80 קילומטר במהירות $x+10$. לכן בסך הכל הזמן שלקח לו הוא ${\frac {2}{5}}+{\frac {80}{x+10}}$.

כמו שאמרנו אחרי ה-80 קילומטר האלו הוא היה בדיוק באותו מקום שהוא היה אמור להיות בו בלי העיכוב, כלומר אם הוא היה נוסע בלי העיכוב אז ה-80 קילומטר האלו היו לוקחים לו בדיוק אותו זמן כמו שלקחו לו במציאות. במילים האחרות הזמן הראשון שחישבנו (כמה זמן היה אמור לקחת לו) הוא בדיוק אותו זמן כמו הזמן השני שחישבנו (כמה לקח לו במציאות). אז משניהם אפשר לבנות משוואה:

${\frac {80}{x}}={\frac {2}{5}}+{\frac {80}{x+10}}$

פותרים את המשוואה הזאת וכנראה שיוצא הפתרון שכתוב שם (בעצם זה יוצא משוואה ריבועית שאחד הפתרונות שלה הוא שלילי, וברור שמהירות אמורה להיות אי-שלילית אז רק הפתרון השני תקף).