משתמש:גאיה סקופ/טיוטה

חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים

חלקיקים בלתי מובחנים- בין החלקיקים הלבנים לבין עצמם לא ניתן להבדיל. למשל אם נתבונן בחלקיק העליון משמאל בזמן - t0 במערכת השמאלית,לא נדע לאן פנה והיכן הוא בזמן - t1 במערכת הימנית. לעומת זאת,חלקיקים מובחנים-ניתן להבחין ביניהם. למשל בין חלקיק לבן לכחול –נוכל לדעת איפה החלקיק הכחול בכל זמן.

כאשר דנים במערכת של N חלקיקים זהים יש להפריד לשני מקרים: חלקיקים מובחנים וחלקיקים בלתי מובחנים.

חלקיקים בלתי מובחנים - במכניקת הקוונטים הם חלקיקים אשר עקרונית לא ניתן להבדיל בניהם והם מוגדרים רק בסקלות קוונטיות.

חלקיקים מובחנים-חלקיקים שניתן להבדיל ביניהם ולהתחקות אחר ההתפתחות בזמן של כל אחד ואחד מהם.

זו תכונה יסודית של המערכת שתקבע כיצד יש לספור מצבים מיקרוסקופים. יש לציין כי בפיזיקה קלאסית (וכן באינטואיציה שלנו) חלקיקים תמיד מובחנים. לכן, גם אם נבחר לא להבחין בניהם (לדוגמה: הוצאת כדורים זהים משק) הסטטיסטיקה היא של חלקיקים מובחנים כי תמיד נוכל לבחור לצבוע אותם בצבע שונה או לתייג כל אחד בתווית אחרת. לעומת זאת, בפיזיקה קוונטית -חלקיקים זהים הם בלתי מובחנים בהגדרה,כמו לדוגמה: חלקיקים אלמנטרים,חלקיקים תת-אטומים,אטומים ומולקולות. קיימות תכונות אינהרנטיות באמצעותן ניתן להבדיל בין החלקיקים גם בפיזיקה קוונטית והן: מסה,מטען,וספין (בפיזיקה קלאסית (לעומת פיזיקה קוונטית) נוכל גם להבחין בין חלקיקים בעלי הבדל בתכונות הדינמיות כמו לדוגמה: מיקום,תנע ואנרגיה).

רקע פילוסופי

בתום המאה ה-17 התנהל ויכוח בין הפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ לבין סמואל קלארק (תלמידו של ניוטון). על פי התפיסה הניוטונית העולם מורכב מאינספור חלקיקים זהים בתכונותיהם הנמצאים במקומות שונים בחלל וכל חלקיק שומר על זהותו העצמית ונותר הוא עצמו במשך התהליכים בו משתתף (נציין כי הזהות העצמית הוותה מונח בסיס במכניקה קלאסית). לייבניץ ,לעומת זאת, התנגד לקיומם של חלקיקים זהים ולכך טענות לוגיות הנובעות מתפיסה פילוסופית דתית. טענתו היא כי האל בורא את הטוב ביותר מבין העולמות האפשריים. חרף זאת, אין סיבה מספקת שהאל יבחר לשים אטום אחד במקום מסוים על פני האחר במידה והם זהים ובעלי אותה השפעה. ולכן, לדידו אין זה יתכן כי האל יברא שני חלקיקים זהים בדיוק וכתוצאה מכך טען כי אטומים זהים לא קיימים. תורת הקוונטים עוקפת את טענתו של לייבניץ בדרך נאה ומחוכמת ומפרה את תכונת הזהות העצמית של חלקיקים.

תיאור במכניקת הקוונטים

חלקיקים שונים כמו לדוגמה פרוטון ואלקטרון ניתנים להבחנה. לכן,ניתן יהיה לכתוב עבורם מצב מקום בשלושה מימדים:$|{\overrightarrow {r_{p}}},{\overrightarrow {r_{e}}}\rangle$ . אולם,עבור חלקיקים זהים המצב שונה היות ולא ניתן להבחין בניהם. לאחר החלפתם המצב הפיזיקלי לא השתנה,כלומר נותרנו באותו מצב קוונטי עד כדי פאזה, ולכן אם נבצע מדידת מקום ונמצא כי קיים חלקיק אחד במיקום $x_{1}$ וחלקיק אחר ב- $x_{2}$,היות והם חילופים -לא נדע מי זה מי.קרי,לאחר המדידה יתכן ומצב המיקום הוא:$|{x_{1}},{x_{2}}\rangle$  או $|{x_{2}},{x_{1}}\rangle$ או צירוף ליניארי (סופרפוזיציה) של המצבים הללו. עבור הסופרפוזיציה ניתן להראות כי קיימות רק שתי אפשרויות:

1. מצב סימטרי- $|{x_{1}}{x_{2}}\rangle _{s}={\frac {1}{\sqrt {2}}}[|{x_{1}}{x_{2}}\rangle +|{x_{2}}{x_{1}}\rangle ]$.במצב זה החלפת החלקיקים כלל לא משנה,ולכן:$\Psi _{+}({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}})=\Psi _{+}({\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{1}}})$.
2. מצב אנטי סימטרי- $|{x_{1}}{x_{2}}\rangle _{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}[|{x_{1}}{x_{2}}\rangle -|{x_{2}}{x_{1}}\rangle ]$.במצב זה החלפת החלקיקים הופכת את הסימן,ולכן:$\Psi _{-}({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}})=-\Psi _{-}({\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{1}}})$.

כאשר :s-סימן לסימטרי; A-סימון לאנטיסמטרי; המקדם ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$  לשם נרמול המצב.

למעשה בעולם קוונטי בשלושה מימדים ניתן לסווג את החלקיקים בטבע לשני סוגים בעלי התנהגות סטטיסטית שונה (משפט ספין-סטטיסטיקה) :

• בוזונים-בעלי פונקציית הגל הסימטרית, בניהם נמנים בין היתר:פוטונים,גלואונים,פונונים,הליום 4 וכל המזונים.עבור חלקיקים אלו הספין מספר שלם.

• פרמיונים-בעלי פונקציית הגל האנטי-סימטרית,בניהם נמנים בין היתר: אלקטרונים,חלקיקי הנייטרינו,הליום-3,קווארקים,פרוטונים.עבור חלקיקים אלו הספין מספר חצי שלם.

נציין כי במערכת בשני ממדים קיימים גם אניונים (anyons) להם תכונות פחות מגבילות מאשר לבוזונים ופרמיונים.

תכונות סטטיסטיות

מספור חלקיקים זהים

פיזיקה סטטיסטית מסתמכת על חישובי הסתברות עבורם חשוב מאוד להבחין בהאם מדובר בעצמים מובחנים או בלתי מובחנים. לא חשוב כיצד נמספר חלקיקים זהים היות ובעת החלפת המספור פיזיקת הבעיה לא תשתנה,מיקרוסקופית- 'תמונת' המערכת תראה אותו דבר. למשל, נוכל להחליף בין שם החלקיקים 2 ו-1(ראה/י טבלה) ומצב המערכת יוותר כפי שהוא. חשוב לשים לב שכאשר המספרים הקוונטים של חלקיקים זהים (כמו 1 ו-3 ),כלומר יש להם אותה פונקציית גל קוונטית/אותו מצב קוונטי, החלפת המספור שלהם חסרת משמעות.

מספר קוונטי
nx	ny	nz	שם החלקיק
19	65	1	1
2	18	5	2
19	65	1	3

לשם המחשה נעזר בפונקציית חלוקה הקנונית: $Z(\beta )=\sum _{s}\exp(-\beta \epsilon _{s})$, כאשר המערכת מצומדת לאמבט תרמי בטמפרטורה הופכית $\beta ={\tfrac {1}{k_{B}T}}$ ונמצאת במצב מיקרוסקופי s באנרגיה- $\epsilon _{s}$.

עבור חלקיקים מובחנים: שהאנרגיה היא סכום האנרגיות החד חלקיקיות:$Z_{tot}=(Z_{single})^{N}$ .

עבור חלקיקים בלתי מובחנים בגבול אכלוס דליל (כלומר כאשר יש מעט חלקיקים ביחס למספר רמות האנרגיה כך שהסיכוי למציאת שני חלקיקים באותה רמה נמוך):$Z_{tot}={\frac {(Z_{single})^{N}}{N!}}$.

דוגמה בה ההבחנה בין חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים חשובה היא בחישוב פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת (Z_tot) של גז אידיאלי מונואטומי בעל N חלקיקים (בקופסא). הפתרון הנכון הוא הפתרון של גיבס (ראה פרדוקס גיבס) המניח חלקיקים זהים (במצבים קוונטים שונים) ולכן בלתי ניתנים להבחנה. הפתרון התקין לוקח בחשבון את חוסר המשמעות להחלפה בין החלקיקים ולכן מחלק את הפתרון השגוי במספר האפשריות לסידור החלקיקים-$N!$ .כלומר, לא נוכל לרשום שפונקציית החלוקה הכוללת היא : $Z_{tot}=(Z_{single})^{N}$ ,

כאשר: פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק יחיד :$Z_{single}=n_{Q}V$ ;$n_{Q}=({\frac {mk_{B}T}{2\Pi \hslash ^{2}}})^{\frac {3}{4}}$,$k_{B}$-קבוע בולצמן;T-טמפרטורת הגז (המערכת מחוברת לאמבט חום); V-נפח הכלי/המערכת ;m-מסת החלקיק;$\hslash ^{2}$-קבוע פלאנק המצומצם.

אלא: $Z_{tot}={\frac {(Z_{single})^{N}}{N!}}$.

כאשר קיימים חלקיקים שבנוסף הם בעלי אותו מצב קוונטי צריך לכפול את פונקציית החלוקה הקנונית פי מספר הפרמוטציות,p, בין החלקיקים אשר באותו מצב מצב קוונטי,כלומר:$Z_{tot}={\frac {(Z_{single})^{N}}{\frac {N!}{p}}}$.

שמה של התפלגות הסיכויים המתאימה לחלקיקים מובחנים -התפלגות מקסוול-בולצמן. עבור בוזונים זהים הסתברות גבוהה יותר להימצא באותו מצב קוונטי מאשר לחלקיקים קלאסים,דוגמה לכך היא "עיבוי בוז-איינשטיין" ושמה של התפלגות הסיכויים המתאימה-התפלגות בוז-איינשטיין. לעומת בוזונים, פרמיונים זהים לעולם לא נמצאים באותו מצב קוונטי,עובדה זו מוכרת כעקרון האיסור של פאולי, ושמה של התפלגות הסיכויים המתאימה-התפלגות פרמי-דיראק.

ראו גם

חוק האיסור של פאולי

כתיב דיראק

פיזיקה סטטיסטית

פרמיון

בוזון

פרדוקס גיבס

אינטראקציית שחלוף

התפלגות פרמי-דיראק

משפט ספין-סטטיסטיקה

לקריאה נוספת

יואב בן-דב,תורת הקוונטים-מציאות ומסתוריו,תל-אביב:דביר,הוצאה לאור בע"מ,1997.

.J.Griffiths,Introduction To Quantum Mechanic,United Kingdom:Cambridge Universiversity Press,Third edition,2018

קישורים חיצונים

*https://en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles-חלקיקים זהים.