משתמש:בר/גבול עליון וגבול תחתון

במתמטיקה, גבול עליון וגבול תחתון על סדרה כמגביל (כלומר, בסופו של דבר וקיצוני) ברצף. ניתן לחשוב עליהם בצורה דומה לפונקציה (ראו גבול של פונקציה ).

עבור סט הם המהווים את האינסופי והעליון של נקודות הגבלה של הסט, בהתאמה.

באופן כללי, כשיש מספר עצמים שסביבם מצטבר רצף, פונקציה או סט, הגבולות הנחותים והעליונים מוציאים את הקטן והגדול שבהם; סוג האובייקט ומדד הגודל הוא תלוי הקשר, אך הרעיון של גבולות קיצוניים אינו משתנה.

גבול תחתון גם נקרא:

infimum limit, limit infimum, liminf, inferior limit, lower limit, or inner limit; limit superior is also known as supremum limit, limit supremum, limsup, superior limit, upper limit, or outer limit.

המחשה של עליון גבול ונחות גבול. הרצף x _n מוצג בכחול. שני הקימורים האדומים מתקרבים למגבלת העליונה ומגבילים נחותים של x _n, המוצגים כקווים שחורים מנוקדים. במקרה זה, הרצף מצטבר סביב שני הגבולות. המגבלה העליונה היא הגדולה מבין השתיים, והגבול הנחות הוא הקטן מבין השניים. הגבולות הנחותים והעליונים מסכימים אם ורק אם הרצף מתכנס (כלומר, כאשר יש גבול יחיד).

המגבלה נחותה של רצף $x_{n}$ מסומן על ידי

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n}.$

עליון הגבול של רצף $x_{n}$ מסומן על ידי

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.$

הגדרה לרצפים

המגבלה הנחותה של רצף ( x _n ) מוגדרת על ידי

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

באופן דומה, עליון הגבול של ( x _n ) מוגדר על ידי

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$

או

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

לחילופין, ההערות $\varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ ו $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$ משמשים לפעמים.

ניתן להגדיר באופן שווה את המגבלות העליונות והנחותות באמצעות מושג הגבולות הבאים של הרצף $(x_{n})$ . יסוד $\xi$ של המספרים האמיתיים המורחבים ${\overline {\mathbb {R} }}$ הוא מגבלה עוקבת של $(x_{n})$ אם קיים רצף הולך וגובר של מספרים טבעיים $(n_{k})$ כך ש $\xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}$ . אם $E\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ היא קבוצה של כל הגבולות הבאים של $(x_{n})$, לאחר מכן

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E$

ו

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.$

אם המונחים ברצף הם מספרים אמיתיים, גבול עליון וגבול נחותים קיימים תמיד, שכן המספרים האמיתיים יחד עם ± ∞ (כלומר קו המספרים האמיתיים המורחבים ) הושלמו . באופן כללי יותר, הגדרות אלה הגיוניות בכל סט מסודר חלקית, בתנאי שהסופרמה והאינתימה קיימות, למשל בסריג שלם .

בכל פעם שהמגבלה הרגילה קיימת, הגבול הנחות והגבול עדיף שניהם זהים לו; ולכן, כל יכול להיחשב הכללה של גבול רגיל וזה מעניין בעיקר במקרים בהם הגבול אינו קיים. בכל פעם Lim INF x _n ו- Lim sup x _n שני הדברים קיימים, יש לנו

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.$

מגבלות נחותות / עליונות קשורות לציון ה- O הגדול בכך שהם קושרים רצף רק "בגבול"; הרצף עשוי לחרוג מהגבול. עם זאת, בסימון גדול O, הרצף יכול לחרוג רק מהגבול בקידומת סופית של הרצף, ואילו מעולה הגבול של רצף כמו e ^{- n} עשוי למעשה להיות פחות מכל האלמנטים ברצף. ההבטחה היחידה שהובטחה היא שאיזה זנב מהרצף יכול להיות מוגבל למעלה על ידי גבול הגבול בתוספת קבוע חיובי קטן באופן שרירותי, ומגביל מתחת לגבול הנחות מינוס קבוע חיובי קטן שרירותי.

עליון גבול ונחות גבול של רצף הם מקרה מיוחד של אלה של פונקציה (ראה להלן).