משפט קוקס

משפט קוקס (באנגלית: Cox's theorem) הוא הוא הסקה של חוקי תורת ההסתברות ממערכת מסוימת של אקסיומות. זוהי הרחבה של לוגיקה בוליאנית למצבי אי ודאות, תוך שמירה על עקרונות יסוד מסוימים (האקסיומות). המשפט נקרא על שמו של הפיזיקאי ריצ'רד טרקלד קוקס (Richard Threlkeld Cox). למרות שהתורה הנגזרת מפיתוח זה זהה כמעט בכל מובן לתורת ההסתברות הקלאסית, הפרשנות הניתנת בה למה מייצגת הסתברות של מאורע נתון היא בייסיאנית באופייה.

ההנחות של משפט קוקס

משפט קוקס מבוסס על ההנחות הבאות:

1. ההסתברות של נכונות טענה ניתנת לייצוג באמצעות מספר ממשי. היא מבוססת על מידע הקשור לטענה.
2. שכל ישר - סבירויות ישתנו על פי השכל הישר של סבירויות המודל.
3. עקביות - אם יש דרכים שונות להערכת הסתברות של טענה, תוצאות כל הדרכים צריכות להיות שוות.

ההנחות הנ"ל מובאות כפי שנוסחו על ידי Arnborg וSjödin. המשפט כפי שנוסח במקור על ידי קוקס מנוסח באופן מעט יותר פורמלי מהניסוח לעיל, אך עדיין לא באופן ריגורוזי לחלוטין. ניתן לפרמל את ההנחות ולהוכיח את המשפט אם מוסיפים הנחות בהן השתמש קוקס באופן מרומז או באופן גלוי.

המשוואות המרכיבות את האקסיומה של קוקס

המשוואות המרכיבות את האקסיומה של קוקס הן:

• ההסתברות של נכונות טענה קובעת את ההסתברות של שלילת הטענה. כשההסתברות של הטענה גדלה, ההסתברות של שלילת הטענה קטנה. כשההסתברות של שלילת הטענה גדלה, ההסתברות של הטענה קטנה. המשוואה הנגזרת מכך היא: $f(f(x))=x\,$.
• ההסתברות של האיחוד $A\land B$ של שתי טענות $A$ ו-$B$ תלויה רק בהסתברות של טענה $B$ ובהסתברות של $A$ בהינתן ש-$B$ נכונה. מזה הסיק קוקס שאיחוד של הסתברויות הוא אסוציאטיבי. בניסוח מתמטי: $P(A\land B)=f(P(A),P(B|A))$ כאשר $f$ היא פונקציה המבוססת על אופרציה בינארית אסוציאטיבית של $A$ ו-$B$.
• נניח ש $A\land B$ שווה ערך ל $C\land D$. אם נקבל מידע חדש $A$ ואחרי זה נקבל מידע חדש $B$ ונעדכן את כל ההסתברויות בכל פעם על פי המידע החדש, ההסתברויות המעודכנות יהיו זהות להסתברויות המעודכנות במקרה שנקבל מידע חדש $C$ ואחרי זה נקבל מידע חדש $D$. המשמעות היא שכפל של הסתברויות זהה לכפל של מספרים ממשיים. המשוואה הנגזרת מכך היא: $y\,f\left({f(z) \over y}\right)=z\,f\left({f(y) \over z}\right)$

המשמעות של המשפט

משפט קוקס הפך לאחד ההצדקות של השימוש בהסתברות בייסיאנית. בעוד על פי תפיסת הסתברות רגילה, הסתברות מתפרשת כשיטת לוגיקה פורמלית המהווה הרחבה של הלוגיקה של אריסטו למצבי אי-ודאות. קיים ויכוח על השאלה האם משפט קוקס מוציא מכלל אפשרות מודלים אחרים להסתברות בתנאי אי-ודאות. הוצעו גם חלופות אחרות, המתבססות על ביטול חלק מההנחות הפחות אינטואיטיביות במשפט קוקס. מודל כזה הוצע למשל על ידי הארדי.

ראו גם

• הסתברות בייסיאנית
• אדווין תומפסון ג'יינס

קישורים חיצוניים

• E. T. Jaynes Wayman Crow, Probability Theory: The Logic of Science, Washington University