משפט ליוביל (מכניקה המילטונית)

במכניקה המילטונית ובמכניקה ססטיסטית, משפט ליוביל, הנקרא על שמו של ז'וזף ליוביל, מתאר את ההתנהגות של מערכת פיזיקלית במרחב הפאזה. משפט זה, בניסוחים שקולים, טוען שהנפח במרחב הפאזה נשמר תחת טרנספורמציות קנוניות, וכן שפונקציית צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה נשארת קבועה עבור כל מסלול בו. תוצאה זו מצדיקה את ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית שטוענת כי במערכת סגורה כל המצבים המיקרוסקופיים הזמינים הם שווי-הסתברות.

שימור הנפח במרחב הפאזה

במערכת פיזיקאלית המתוארת על ידי $s$ קואורדינטות מוכללות $q_{1},q_{2},...,q_{s}$, מרחב הפאזה הוא מרחב בעל $2s$ ממדים - מימד אחד לכל קואורדינטה מוכללת ומימד אחד לכל תנע הצמוד לקואורדינטה מוכללת: $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}$, כאשר ${\mathcal {L}}$ הלגראנז'יאן של המערכת. כל נקודה במרחב הפאזה מייצגת מצב מוגדר מסוים של המערכת, וכאשר המערכת נעה הנקודה המתאימה לכל מצב מגדירה עקומה הנקראת מסלול הפאזה.

אלמנט נפח אינפיניטסימלי במרחב הפאזה ניתן לרשום כ-$d\Gamma =\prod _{i=1}^{s}{dq_{i}dp_{i}}$, ולכן נפח מסוים במרחב הפאזה, היכול לייצג קונפיגורציות של מערכת מרובת חלקיקים (צבר) הוא $\int {d\Gamma }$. משפט ליוביל טוען שהנפח אינווריאנטי תחת טרנספורמציות קנוניות. טרנספורמציה קנונית מעבירה את הקוארינטות והתנעים המוכללים לקואורדינטות ותנעים מוכללים חדשים $(q_{1},...,q_{s};p_{1},...,p_{s};t)\mapsto (Q_{1},...,Q_{s};P_{1},...,P_{s};t)$ באופן שמשמר את משוואות המילטון. בפרט, מכיוון שהתקדמות בזמן - מעבר מהקואורדינטות $q(t),p(t)$ לערכיהן לאחר זמן $\tau$: $q(t+\tau ),p(t+\tau )$ - היא טרנספורמציה קנונית, ניתן לראות שהנפח במרחב הפאזה נשמר בזמן.

הוכחה

רוצים להראות שהנפח במונחי הקואורדינטות הקודמות $\Gamma _{q,p}=\int ...\int {dq_{1}...dq_{s}dp_{1}...dp_{s}}$ זהה לנפח במונחי הקואורדינטות החדשות $\Gamma _{Q,P}=\int ...\int {dQ_{1}...dQ_{s}dP_{1}...dP_{s}}$. ניתן להעביר את האינטגרל השני להיות אינטגרל במונחי הקואורדינטות הישנות בעזרת היעקוביאן:

$\int {dQ_{1}...dQ_{s}dP_{1}...dP_{s}}=\int {Jdq_{1}...dq_{s}dp_{1}...dp_{s}}$, ולכן נותר רק להראות שהיעקוביאן הוא 1.

נשתמש בכללים של יעקוביאנים כדי לקבל: $J={\frac {\partial (Q_{1},...,Q_{s},P_{1},...,P_{s})}{\partial (q_{1},...,q_{s},p_{1},...,p_{s})}}={\frac {\frac {\partial (Q_{1},...,Q_{s},P_{1},...,P_{s})}{\partial (q_{1},...,q_{s},P_{1},...,P_{s})}}{\frac {\partial (q_{1},...,q_{s},p_{1},...,p_{s})}{\partial (q_{1},...,q_{s},P_{1},...,P_{s})}}}={\frac {({\frac {\partial (Q_{1},...,Q_{s})}{\partial (q_{1},...,q_{s})}})_{P=const}}{({\frac {\partial (p_{1},...,p_{s})}{\partial (P_{1},...,P_{s})}})_{q=const}}}$.

כל טרנספורמציה קנונית ניתן לרשום במונחי פונקציה יוצרת כלשהי, למשל $\Phi (q_{i},P_{i},t)$ כך שהקואורדינטות האחרות מתקבלות ממנה: $p_{i}={\frac {\partial \Phi }{\partial q_{i}}},Q_{i}={\frac {\partial \Phi }{\partial P_{i}}}$. לכן האיבר בדטרמיננטה שבמונה בשורה ה-$i$ ובעמודה ה-$k$ הוא ${\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}={\frac {\partial }{\partial q_{k}}}({\frac {\partial \Phi }{\partial P_{i}}})={\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial q_{k}P_{i}}}$. האיבר ה-$i,k$ בדטרמיננטה שבמכנה הוא ${\frac {\partial p_{i}}{\partial P_{k}}}={\frac {\partial }{\partial P_{k}}}({\frac {\partial \Phi }{\partial q_{i}}})={\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial q_{i}\partial P_{k}}}$, כלומר היעקוביאן שבמכנה הוא שחלוף של זה שבמונה, ולכן הדטרמיננטות שלהם זהות. קיבלנו כי $J=1$ ולכן הנפחים שווים.

משוואת ליוביל

עבור צבר של מצבים שונים של מערכת פיזיקלית מסוימת, נגדיר את פונקציית צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה כך ש- $\rho (q_{1},...,q_{s},p_{1},...,p_{s},t)dq_{1}...dq_{s}dp_{1}...dp_{s}$ היא ההסתברות למצוא את המערכת במצב מסוים שנמצא באלמנט הנפח $d\Gamma =dq_{1}...dq_{s}dp_{1}...dp_{s}$. מכיוון שהתקדמות בזמן היא טרנספורמציה קנונית, והנפח במרחב הפאזה קבוע תחת טרנספורמציות קנוניות, נקבל כי הנפח שתופסים מספר מצבים במרחב הפאזה, המתפתחים בזמן באופן קלאסי (על-פי משוואות המילטון) נשמר בזמן, ולכן צפיפות ההסתברות לאורך מסלול ההתפתחות בזמן, גם היא קבועה בזמן:

${\frac {d\rho }{dt}}=\{\rho ,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

כאשר ${\mathcal {H}}$ ההמילטוניאן, $\{f,g\}=\sum _{i=1}^{s}{{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}}$ סוגרי פואסון, והקשר ${\frac {df}{dt}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$ ידוע ממכינקה המילטונית.

זוהי משוואת ליוביל המתארת את התפתחות צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה בזמן. בצורה שקולה ניתן לרשום:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\rho ,{\mathcal {H}}\}$

למשוואה זו, הנכונה למכניקה הקלאסית הנשלטת על-ידי משוואות המילטון, יש מקבילה במכניקת הקוונטים, משוואת פון-נוימן:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}[\rho ,{\mathcal {H}}]$

כאשר $\rho$ הוא אופרטור הצפיפות.

במערכות בשיווי משקל

עבור מערכות שנמצאות בשיווי משקל, צפיפות ההסתברות אינה תלויה מפורשות בזמן: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$. במקרה זה, משוואת ליוביל הופכת להיות:

$\{\rho ,{\mathcal {H}}\}=0$

פתרון כללי לכך הוא שצפיפות ההסתברות היא פונקציה של ההמילטוניאן:

$\rho (q,p)=\rho ({\mathcal {H(q,p)}})$

במכניקה סטטיסטית, פונקציית צפיפות זאת מתארת את ההסתברויות השונות למצוא את המערכת במצב מסוים בצבר כלשהו. במערכת הסגורה, האנרגיה קבועה ולכן ההמילטוניאן יכול להיות שווה רק לערך כלשהו, $U$. לפיכך, צפיפות ההסתברות גם היא קבועה עבור המצבים הזמינים (אלה הנותנים את אותה האנרגיה):

$\rho (q,p)={\frac {\delta ({\mathcal {H(p,q)}}-U)}{\int {\delta ({\mathcal {H(p,q)}}-U)d\Gamma }}}$, וכאשר המצבים בדידים ההסתברות זהה לכל המצבים הזמינים: $P_{s}={\frac {1}{\sum _{s}{1}}}={\frac {1}{g(U)}}$, זוהי פונקציית ההסתברות בצבר המיקרוקנוני שמראה את ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית - בשיווי משקל במערכת סגורה כל המצבים הזמינים הם שווי הסתברות.