חסם (מתמטיקה)

במתמטיקה, חסם של תת-קבוצה של קבוצה סדורה חלקית הוא איבר של הקבוצה הסדורה שבינו לבין כל אחד מאברי התת-קבוצה מתקיים אי-שוויון חלש. חסם הגדול או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה נקרא חסם מלעיל, וחסם הקטן או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה נקרא חסם מלרע. קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע נקראת קבוצה חסומה. דוגמה: קבוצת המספרים הממשיים שבקטע הסגור [0,1] חסומה מלרע על ידי 0 ומלעיל על ידי 1. גם הקטע הפתוח (0,1) חסום מלרע על ידי 0 ומלעיל על ידי 1.

הגדרה פורמלית

תהא $\ (X,\leq )$ קבוצה סדורה ותהא $\ A\subseteq X$ תת-קבוצה שלה.

• איבר $\ x\in X$ ייקרא חסם מלעיל של $\ A$ אם לכל $\ a\in A$ מתקיים $\ a\leq x$.
• איבר $\ x\in X$ ייקרא חסם מלרע של $\ A$ אם לכל $\ a\in A$ מתקיים $\ x\leq a$.

מקרים מיוחדים של חסמים

הגדרת החסם מחייבת שהוא יהיה שייך לקבוצה הסדורה, אך לאו דווקא לתת-הקבוצה אותה הוא חוסם. נתבונן למשל בתת-הקבוצה של הטבעיים {1,2,3}. המספר 4 הוא חסם מלעיל של תת-הקבוצה כי הוא שייך לטבעיים וגדול מכל אחד אברי תת-הקבוצה, אף שהוא עצמו אינו שייך לקבוצה. לעומת זאת, המספר 3 הוא גם חסם מלעיל של תת-הקבוצה וגם שייך לה. חסם מלעיל ששיך לתת-הקבוצה אותה הוא חוסם נקרא "מקסימום", וחסם מלרע השייך לתת הקבוצה נקרא "מינימום".

חסם מלרע מקסימלי וחסם מלעיל מינימלי, כאשר הם קיימים, נקראים אינפימום וסופרמום בהתאמה (החסם התחתון והחסם העליון בעברית). חסמים אלה הם "הדוקים" במובן זה שאין חסם מלרע או חסם מלעיל שגדול או קטן מהם בהתאמה. אקסיומת השלמות מבטיחה קיום של אינפימום או סופרמום לכל קבוצה חסומה מלרע או מלעיל בשדה המספרים הממשיים (בניגוד לשדה המספרים הרציונליים), לדוגמה: לקבוצת המספרים הממשיים שבקטע הפתוח (0,1) יש חסם תחתון 0 וחסם עליון 1. בנוסף, המינימום או המקסימום של תת-קבוצה, כאשר הם קיימים, הם גם האינפימום והסופרמום שלה, כי המינימום לדוגמה הוא בהגדרה איבר בתת-קבוצה ולכן כל חסם מלרע, והאינפימום בפרט, קטן או שווה לו. כמו כן, הלמה של צורן מבטיחה קיום של חסם כזה גם בקבוצות כלליות יותר, בהינתן תנאים מסוימים.

קיום של חסם

הקיום של חסם מלעיל וחסם מלרע מובטח לכל תת-קבוצה סופית של קבוצה סדורה היטב ולא ריקה. במקרה של הקבוצה הריקה, כל איבר בקבוצה הסדורה מקיים באופן ריק הן את התנאי של חסם מלעיל והן את התנאי של חסם מלרע. יותר מכך, כל איבר של קבוצה סדורה חלקית יכול לשמש כחסם מלעיל ומלרע של הקבוצה הריקה. עבור קבוצה חלקית סופית ולא ריקה של קבוצה סדורה היטב מובטח קיומם של מקסימום ומינימום, ואלה כאמור חסמים מלעיל ומלרע בהגדרה. לעומת זאת, בקבוצות אינסופיות לא תמיד קיים חסם מלעיל או מלרע, לדוגמה: לקבוצת המספרים השלמים אין חסם מלעיל ואין חסם מלרע; המספר 1 הוא חסם מלרע של קבוצת המספרים הטבעיים, אך אין לה חסם מלעיל (עקרון הסדר הטוב). הטענה לגבי תת-קבוצות סופיות לא מתקיימת בהכרח כשמחליפים את הדרישה לקבוצה סדורה היטב בדרישה לקבוצה סדורה חלקית.

ראו גם

• אינפימום וסופרמום
• קבוצה חסומה