מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם .
מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות:
M
{\displaystyle M}
(קיצור של Matrix),
R
{\displaystyle R}
(קיצור של Rotation) ו-
C
{\displaystyle C}
(קיצור של Cosine).
נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב.
לדוגמה סיבוב ממערכת צירים
a
{\displaystyle a}
למערכת צירי
b
{\displaystyle b}
:
C
a
b
{\displaystyle C_{a}^{b}}
תהי
M
{\displaystyle M}
מטריצת סיבוב מסדר
n
×
n
{\displaystyle \ n\times n}
. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:
A
⋅
B
=
M
A
⋅
M
B
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =M\mathbf {A} \cdot M\mathbf {B} }
M
M
−
1
=
M
M
⊤
=
I
{\displaystyle {M}\,{M}^{-1}={M}\,{M}^{\top }={I}}
כאשר
I
{\displaystyle {I}}
היא מטריצת היחידה .
M
=
exp
(
A
)
=
∑
n
=
0
∞
A
n
n
!
{\displaystyle {\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}}}
כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת
A
n
{\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}
נגדיר בעזרת כפל מטריצות .
סיבוב נגד כיוון השעון של וקטור בזווית θ . כאשר הווקטור היה מיושר בהתחלה עם ציר ה-x.
בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית
θ
{\displaystyle \theta }
, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון . המטריצה לסיבוב וקטור בזווית
θ
{\displaystyle \theta }
היא:
R
(
θ
)
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}}
כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:
R
(
−
θ
)
=
[
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}}
ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.
מטריצות סיבוב נפוצות:
R
(
90
∘
)
=
[
0
1
−
1
0
]
R
(
180
∘
)
=
[
−
1
0
0
−
1
]
R
(
270
∘
)
=
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle {\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
מטריצת הסיבוב סביב ציר ה -
x
{\displaystyle x}
בזווית
ϕ
{\displaystyle \phi }
היא:
R
x
(
ϕ
)
=
[
1
0
0
0
cos
ϕ
−
sin
ϕ
0
sin
ϕ
cos
ϕ
]
=
exp
(
[
0
0
0
0
0
−
ϕ
0
ϕ
0
]
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\0&\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\phi \\0&\phi &0\end{bmatrix}}\right)}
מטריצת הסיבוב סביב ציר ה -
y
{\displaystyle y}
בזווית
θ
{\displaystyle \theta }
היא:
R
y
(
θ
)
=
[
cos
θ
0
sin
θ
0
1
0
−
sin
θ
0
cos
θ
]
=
exp
(
[
0
0
θ
0
0
0
−
θ
0
0
]
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&0&\sin {\theta }\\0&1&0\\-\sin {\theta }&0&\cos {\theta }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta \\0&0&0\\-\theta &0&0\end{bmatrix}}\right)}
מטריצת הסיבוב סביב ציר ה -
z
{\displaystyle z}
בזווית
ψ
{\displaystyle \psi }
היא:
R
z
(
ψ
)
=
[
cos
ψ
−
sin
ψ
0
sin
ψ
cos
ψ
0
0
0
1
]
=
exp
(
[
0
−
ψ
0
ψ
0
0
0
0
0
]
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{z}(\psi )={\begin{bmatrix}\cos {\psi }&-\sin {\psi }&0\\\sin {\psi }&\cos {\psi }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\psi &0\\\psi &0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)}
כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.
מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x[1] :
R
=
R
z
(
ψ
)
R
y
(
θ
)
R
x
(
ϕ
)
=
[
cos
θ
cos
ψ
−
cos
ϕ
sin
ψ
+
sin
ϕ
sin
θ
cos
ψ
sin
ϕ
sin
ψ
+
cos
ϕ
sin
θ
cos
ψ
cos
θ
sin
ψ
cos
ϕ
cos
ψ
+
sin
ϕ
sin
θ
sin
ψ
−
sin
ϕ
cos
ψ
+
cos
ϕ
sin
θ
sin
ψ
−
sin
θ
sin
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
]
{\displaystyle \mathbf {R} =R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}}
באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב. למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו:
ϕ
=
a
t
a
n
2
(
R
(
2
,
1
)
,
R
(
1
,
1
)
)
{\displaystyle \phi =atan2(R(2,1),R(1,1))}
θ
=
a
r
c
s
i
n
(
−
R
(
3
,
1
)
)
{\displaystyle \theta =arcsin(-R(3,1))}
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
(
3
,
2
)
,
R
(
3
,
3
)
)
{\displaystyle \psi =atan2(R(3,2),R(3,3))}
^ סיבוב ראשון סביב ציר x, לאחר מכן סיבוב סביב ציר y ולבסוף סיבוב סביב ציר z