מגוון (אלגברה אוניברסלית)
באלגברה אוניברסלית, מגוון הוא משפחה של מבנים אלגבריים בעלי אותה חתימה, הסגורה ביחס למעבר לתת-מבנים, לתמונות הומומורפיות, ולמכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). לפי משפט בירקהוף, כל מגוון מוגדר על ידי מערכת של זהויות.
באנגלית נקרא המגוון בשם variety, המתורגם לעברית בדרך כלל בתור יריעה.
יש התאמה בין מגוונים לבין קונגרואנציות על המבנה החופשי. כאשר סריג הקונגרואנציות הוא מודולרי, גם סריג המגוונים הוא מודולרי. משפט מלצב (1954, (אנ')) נותן קריטריון המבטיח את המודולריות של סריג הקונגרואנציות. לדוגמא, סריג המגוונים של לולאות הוא מודולרי[1].
כל מבנה אלגברי יוצר מגוון. לדוגמה, חבורה ציקלית מסדר n יוצרת את המגוון הכולל את כל החבורות האבליות מאקספוננט המחלק את n. סריג המגוונים של רצועות ידוע באופן מלא.
מגוונים קטנים וגדולים[עריכת קוד מקור | עריכה]
מגוון הנוצר על ידי מבנה סופי הוא נוצר סופית. יש טיפוסי מבנים[2] שבהם כל מגוון נוצר סופית הוא נוצר סופית תורשתית (כל תת-מגוון נוצר סופית)
מגוון המכיל מספר סופי של תת-מגוונים הוא קטן. לדוגמה, המגוון הנוצר על ידי חבורה סופית הוא קטן. מאידך, יש חבורה למחצה בגודל 6 היוצרת מגוון שיש לו רצף של תת-מגוונים. יש שני מגוונים קטנים ונוצרים סופית של חבורות למחצה שהצירוף (join) שלהם מכיל רצף של תת-מגוונים.
מגוון הנוצר על ידי מספר סופי של זהויות הוא בעל בסיס סופי. מגוון שהוא בעל בסיס סופי תורשתית (כל תת-מגוון הוא בעל בסיס סופי) יכול להכיל רק מספר בן מניה של תת-מגוונים. מגוון שהוא קטן, בעל בסיס סופי ונוצר סופית נקרא מגוון Cross.
מגוון שסריג תת-המגוונים שלו מכיל עותק של כל סריג סופי, נקרא מגוון אוניברסלי סופית. לדוגמה, המגוון של חבורות למחצה המוגדר על ידי הזהות xx=yxy הוא אוניברסלי סופית (Volkov, 1989).
עבור תכונה P של מבנים אלגבריים, המגוון V הוא P-מקומית אם כל מבנה נוצר סופית ב-V מקיים את התכונה P. עבור חבורה למחצה S, השאלה האם לאף מגוון סופי מקומית המכיל את S אין בסיס סופי היא decidable (בת-חישוב), (Sapir, 1991).
ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]
מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]
- A survey on varieties generated by small semigroups, Journal of Algebra, December 2023.
הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- ^ הערה=Quasigroups and Loops Theory and Applications, I.1.4
- ^ כל מגוון נוצר סופית הוא נוצר סופית תורשתית עבור: חבורות (Oates-Powell), חוגים (Kruse-L'vov), סריגים (הלמה של Jonsson), לולאות וקוואזי-חבורות [Finitely generated equational classes, Aichinger and Mayr, 2016], אבל לא עבור חבורות למחצה או גרופואידים.