טיוטה:קונטרולביליות ואובזרווביליות

בתורת הבקרה, קונטרולביליות ואובזרווביליות (באנגלית: controllability and observability) הם מאפיינים אפשריים של מערכת, ביחס למצבים האפשריים שלה. מערכת היא קונטרולבילית אם מכל מצב $x(0)$ ניתן להגיע בזמן סופי $t$ כלשהו לכל מצב אחר; מערכת היא אובזרוובילית אם בכל רגע $t$ ניתן לשחזר את $x(0)$ (ומכאן גם את המצב לאורך זמן), מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע $t$ – עבור כל צמד של כניסה ויציאה.

הערות: קונטרולביליות אינה תנאי הכרחי להגעה ממצב אחד למצב אחר, אלא שתכונת הקונטרולביליות רק מבטיחה שניתן להגיע מכל מצב לכל מצב. אותו דבר נכון גם לגבי אובזרווביליות: אם מערכת איננה אובזרוובילית אין הדבר אומר שלא ניתן לשחזר אף תנאי התחלה, אלא שתכונת האובזרווביליות מבטיחה שניתן מכל מצב לשחזר את תנאי ההתחלה.

מערכת ליניארית

מבחן קונטרולביליות - מגדירים את מטריצת הקונטרולביליות $S$ של המערכת ${\begin{bmatrix}B\quad AB\quad ...\quad A^{n-1}B\end{bmatrix}}$.

אם המטריצה $S$ מדרגה מלאה (n) אז המערכת קונטרולבילית.

מבחן אובזרווביליות - מגדירים את מטריצת האובזרווביליות $H$ של המערכת ${\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}$.

אם המטריצה $H$ מדרגה מלאה (n) אז המערכת אובזרוובילית.

דוגמאות:

נתונה מערכת הבאה $\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=Ax+Bu\\y=Cx\end{matrix}}\right.,A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},C={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}$

מבחן קונטרולביליות:

$B={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},AB={\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}},S={\begin{bmatrix}B\quad AB\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&2\\1&4\end{bmatrix}}$

ניתן לראות שדרגת המטריצה היא 2, כלומר שמטריצת הקונטרולביליות הינה מדרגה מלאה והמערכת הינה קונטרולבילית.

מבחן אובזרווביליות:

$C={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}},A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},H={\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\7&10\end{bmatrix}}$

ניתן לראות שדרגת המטריצה היא 2, כלומר שמטריצת אובזרווביליות הינה מדרגה מלאה והמערכת הינה אובזרוובילית.

מערכת לא ליניארית

על מנת לבדוק קונטרולביליות ואובזרווביליות של מערכת לא-ליניארית דרוש להשתמש בסוגרי לִי (Lie brackets) ובנגזרת לִי (Lie Derivative) שיוגדרו להלן.

הערה: ההגדרה של שתי הפעולות הללו תינתן במתכונת מצומצמת יחסית.

נגזרת לי

נניח שקיימת פונקציה סקאלרית $h:D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ווקטור שדה המוגדר $f:D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ פעולת ה-Lie Derivative של $h$ ביחס ל-$f$ מביאה לביטוי הבא: $L_{f}h(x)={\frac {df}{dx}}f(x)$. נניח שנתונים לנו שני וקטורי שדות $f,g$ המוגדרים כמקודם אזי:

${\begin{cases}L_{f}h(x)={\frac {df}{dx}}f(x)\\L_{g}h(x)={\frac {dg}{dx}}g(x)\end{cases}}\to L_{g}L_{f}h(x)=L_{g}[L_{f}h(x)]={\frac {d(L_{f}h)}{dx}}f(x)$

דוגמה

נתונות המערכת הבאה:

$h(x)={\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

$f(x)={\begin{bmatrix}-x_{2}\\-x_{1}-u(1-x_{1}^{2})x_{2}\end{bmatrix}},\;g(x)={\begin{bmatrix}-x_{1}-x_{1}x_{2}^{2}\\-x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}\end{bmatrix}}\;$

מתקבל:

• $L_{f}h(x)={\frac {dh}{dx}}f(x)={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-x_{2}\\-x_{1}-u(1-x_{1}^{2})x_{2}\end{bmatrix}}=-u(1-x_{1}^{2})x_{2}^{2}$
• $L_{g}h(x)={\frac {dh}{dx}}g(x)={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-x_{1}-x_{1}x_{2}^{2}\\-x_{2}-+x_{1}^{2}x_{2}\end{bmatrix}}=-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$
• $L_{f}L_{g}h(x)={\frac {d(L_{g}h)}{dx}}f(x)=-2{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-x_{2}\\-x_{1}-u(1-x_{1}^{2})x_{2}\end{bmatrix}}=2u(1-x_{1}^{2})x_{2}^{2}$

סוגרי לי

נניח שנתונים שני וקטורי שדות $f(x),g(x)$ המוגדרים ב-$\mathbb {R} ^{n}$

פעולת ה-Lie Brackets יוצרת שדה חדש:

${\begin{bmatrix}f,g\end{bmatrix}}\equiv {\frac {dg}{dx}}f-{\frac {df}{dx}}g$

כמו כן ניתן להגדיר Lie Brackets מסדרים גבוהים יותר בדרך הבאה:

${\begin{matrix}(ad_{f}^{1})\equiv [f,g]\\(ad_{f}^{2})\equiv [f,[f,g]]\\\vdots \\(ad_{f}^{k})\equiv [f,(ad_{f}^{k-1},g)]\end{matrix}}$

דוגמה

נתונים שני הווקטורים הבאים:

$f(x)={\begin{bmatrix}-x_{2}\\-x_{1}-u(1-x_{1}^{2})x_{2}\end{bmatrix}},\;g(x)={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\;$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}g_{1},g_{2}\end{bmatrix}}\equiv {\frac {dg}{dx}}f(x)-{\frac {df}{dx}}g(x)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-x_{2}\\-x_{1}-u(1-x_{1}^{2})x_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&-1\\-1+2ux_{1}x_{2}&-u(1-x_{1}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\end{aligned}}$

$={\begin{bmatrix}0\\-2ux_{1}^{2}x_{2}\end{bmatrix}}$

קונטרולביליות

ניתן להסתכל על המערכת הלא ליניארית בצורה הבאה:

${\dot {x}}=f(x)+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x)u_{i}$, כאשר $g_{i}$ הם שדות וקטורים של הכניסות ו-$f$ נקרא שדה וקטורי של הסחף (drift).

נגדיר את מטריצה $C$ כ:

$C={\begin{bmatrix}g_{1},g_{2},...,g_{m},[g_{i},g_{j}],...,[ad_{gi}^{k},g_{j}],...,[f,g_{i}],...,[ad_{f}^{k},g_{i}],...\end{bmatrix}}$

במקרה בו המערכת חסרת סחף (driftless) והדרגה של המטריצה $C$ היא מסדר n ניתן להגדיר את המערכת כקונטרולבילית.

דוגמאות:

דוגמה 1

ניתן לפתח את משוואות התנועה הבאות עבור מודל דו ממדי של חד-אופן (unicycle)

${\begin{matrix}{\dot {x}}=v_{1}\cos(\theta )\\{\dot {y}}=v_{1}\sin(\theta )\\{\dot {\theta }}=v_{2}\end{matrix}}$

כאשר $\theta ,y,x$ הינן קוארדינטות המתארות את קונפיגורציית הגוף במישור (מיקום ואורינטציה), ו$v_{2},v_{1}$ הינן המהירות הקווית והסיבובית של המערכת בהתאמה.

כלומר שהמערכת היא :${\dot {x}}=f(x)+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x)u_{i}=0+\overbrace {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\\0\end{bmatrix}} ^{g1}\overbrace {v_{1}} ^{u_{1}}+\overbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}}\overbrace {v_{2}} ^{u_{2}}$

מכאן נובע

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}g_{1},g_{2}\end{bmatrix}}\equiv {\frac {dg_{2}}{dx}}g_{1}-{\frac {dg_{1}}{dx}}g_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&-\sin(\theta )\\0&0&\ \;cos(\theta )\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=\\\end{aligned}}$

$={\begin{bmatrix}g_{1},g_{2}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin(\theta )\\\;\cos(\theta )\\0\end{pmatrix}}\Rightarrow C={\begin{pmatrix}cos(\theta )&0&-sin(\theta )\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\\0&1&0\end{pmatrix}}\Rightarrow rank(C)=3=n$

אפשר לראות שווקטור השדה שנוצר באמצעות פעולת ה-Lie brackets אינו תלוי בשני ווקטורי הכניסות האחרות והמערכת הינה קונטרולבילית.

דוגמה 2

ניתן לפתח את משוואות התנועה הבאות עבור מודל דו ממדי של של רכב בעל היגוי בציר הקדמי והנעה בציר האחורי

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\overbrace {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\\\tan(\phi )/L\\0\end{bmatrix}} ^{g_{1}}v_{1}+\overbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}}v_{2}$

כאשר $x,y$ הינן קוארדינטות המיקום של הרכב במישור, $\theta$ הינה זווית האורינטציה של הרכב במישור ו$\phi$ הינה זווית ההיגוי.

הפרמטר $L$ מתאר את המרחק בין הציר האחורי לקדמי ), ו$v_{2},v_{1}$ הינן מהירות הנסיעה וההיגוי של הרכב בהתאמה.

באותו אופן כמו בדוגמה הקודמת מפתחים את האיברים הבאים:

${\begin{bmatrix}g_{1},g_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\-1/L\cos ^{2}(\phi )\\0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}g_{1},[g_{1},g_{2}]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )/L\cos ^{2}(\phi )\\\cos(\theta )/L\cos ^{2}(\phi )\\0\\0\end{bmatrix}}$

$\Rightarrow C={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&0&-\sin(\theta )/L\cos ^{2}(\phi )\\\sin(\theta )&0&0&\cos(\theta )/L\cos ^{2}(\phi )\\\tan(\phi )/L&0&-1/L\cos ^{2}(\phi )&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$

ניתן להראות שדרגת המטריצה הינה 4 פרט למקרים בהם $\phi =\pm \pi /2$ (גלגל קדמי ניצב לציר התנועה של הרכב), כך שהרכב קונטרולבילי כל עוד זווית ההיגוי שונה מ $\pm \pi /2$. אם משתמשים בעובדה שניתן לשלוט במהלך הנסיעה על זווית ההיגוי $\phi$ באמצעות כניסת מהירות ההיגוי $v_{2}$ אזי ניתן להגיד שהמערכת קונטרולבילית.

דוגמה 3

נתונה מערכת המשוואות הכוללת בתוכה את השדה וקטורי של הסחף (drift)

${\begin{matrix}{\dot {x}}_{1}=x_{2}^{2}\\{\dot {x}}_{2}=u\\\end{matrix}}$

מכאן ש:

$f(x)={\begin{bmatrix}x_{2}^{2}\\0\end{bmatrix}},\;g(x)={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}f,g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2x_{2}\\0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}[f,g],g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}$

$\Rightarrow C={\begin{bmatrix}g,[f,g]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-2x_{2}\\1&0\end{bmatrix}}$

מן צד אחד אפשר לראות שדרגת המטריצה הינה 2, פרט למקרה בו $x_{2}=0$ בנוסף לכך בהבדל מן המערכות בדוגמאות הקודמות המערכת כאן הינה בעלת סחף $f(x)\neq 0$ ולכן המערכת אינה קונטרולבילית. ניתן לראות זאת גם באמצעות הביטוי,$x_{2}^{2}\geq 0$ שאומר שהערך של הקוארדיננטה $x_{1}$ רק גדל ומכאן שהמערכת לא באמת קונטרולבילית.