טבלת קרקטרים
באלגברה מופשטת, טבלת קרקטרים (Character table) של חבורה סופית היא טבלה המייצגת את המידע על הקרקטרים האי-פריקים שלה. בעמודותיה נתונות מחלקות הצמידות של החבורה, ובשורותיה שמים את הקרקטרים האי-פריקים שלה.
את טבלת הקרקטרים של חבורה נתונה ניתן לבנות בשיטות שונות, כמו יחסי האורתוגונליות של שור, הרמה של הצגות מחבורות מנה ופעולה של הקרקטרים החד-ממדיים.
הבנת טבלת הקרקטרים של חבורה סופית (ואף קומפקטית) תורמת להבנת כל הקרקטרים וההצגות שלה באופן מלא. לטבלת הקרקטרים שימושים גם בתחומים נוספים, כמו פיזיקה, כימיה, קריסטלוגרפיה ועוד.
הקדמה והגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]
תהי חבורה סופית ויהי שדה נתון (לרוב שדה המספרים המרוכבים). אם מאפיין השדה לא מחלק את סדר החבורה, לפי משפט משקה חוג החבורה הוא פשוט למחצה, ולכן לפי משפט ודרברן-ארטין מתפרק לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק: . לחוגים כאלה מודול אי-פריק יחיד, ולכן מספר ההצגות האי-פריקות של החבורה סופי, שווה למספר המחוברים , השווה גם לממד המרכז , שווה למספר מחלקות הצמידות של .
לכן, ניתן לבנות טבלה ריבועית, אשר בעמודותיה שמים את הקרקטרים (=העקבה) של ההצגות האי-פריקות, ובשורותיה את מחלקות הצמידות של החבורה. מעל מחלקות הצמידות נהוג לרשום את גודל המחלקה . במקום ה- של הטבלה שמים את . טבלה זו נקראת טבלת קרקטרים של החבורה.
לכל חבורה יש את הקרקטר הטרוויאלי, ולכן בשורה הראשונה יש אחדות; בעמודה הראשונה שמים את פעולת הקרקטרים על המחלקה של איבר היחידה, היינו את המספרים , כלומר הממדים של ההצגות האי-פריקות.
שיטות[עריכת קוד מקור | עריכה]
כדי למלא את טבלת הקרקטרים ניתן להשתמש במספר שיטות.
גדלים[עריכת קוד מקור | עריכה]
בנוגע לגדלים, מתקיימים מספר כללים:
- כדי לדעת את גודל הטבלה יש לדעת את מספר מחלקות הצמידות.
- מתקיים , ולעיתים (נדירות) הצגה כזו היא יחידה, ואז יודעים את .
- מתקיים (ממד ההצגה מחלק את גודל החבורה), ואפילו .
- אם תת-חבורה אבלית, ממדי ההצגות האי-פריקות קטנים מהאינדקס: .
- כדי לדעת (בוודאות) את , יש להכיר את מבנה החבורה (למשל, את תתי החבורות הנורמליות שלה).
יחסי האורתוגונליות של שור[עריכת קוד מקור | עריכה]
יחסי האורתוגונליות של שור הם יחסי אורתוגונליות על שורות ועמודות טבלת הקרקטרים העוזרים לחשב את איבריה. שני יחסי שור השימושיים ביותר הם:
(עמודות)
(שורות)
הרמה מחבורות מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]
ניתן להרים הצגות (ולכן טבלאות חלקיות) של חבורת מנה נתונה אל הצגה של החבורה. כלומר, אם תת-חבורה נורמלית וידועה הצגה של , מקבלים הצגה של על ידי הרכבה עם העתקת המנה .
מקרה שימושי במיוחד של הרמה הוא עבור , תת-חבורת הקומוטטורים. במקרה זה היא האבליניזציה של ובפרט אבלית - כלומר כל הצגה שלה היא חד־ממדית (אל השדה), ויותר מכך - כל הצגה אבלית של היא הרמה של הצגה כלשהי של , בדיוק לפי התכונה האוניברסלית של האבליניזציה. בפרט, מספר הגורמים האי-פריקים מדרגה 1 (ולכן גם מספר ה- שמשתתפים בסכום ) שווה ל-.
פעולת הקרקטרים החד-ממדיים[עריכת קוד מקור | עריכה]
אם הצגה חד-ממדית, אז לכל הצגה -ממדית , גם אף היא הצגה. לכן מוגדרת פעולת חבורה של הקרקטרים החד-ממדיים (או בשקילות של ) על הקרקטרים, השומרת על ממד. ולכן, אם ידוע כי יש שתי הצגות שונות מאותו ממד, יכול להיות שאחת תתקבל מהשנייה על ידי הפעלה של קרקטר חד-ממדי לא טריוויאלי (אם זה קיים).
מכפלת חבורות[עריכת קוד מקור | עריכה]
טבלת הקרקטרים של מכפלה ישרה של חבורות היא המכפלה טנזורית של הטבלאות שלהן.
דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]
- חבורות ציקליות - במקרה של חבורות ציקליות המצב פשוט יותר, כי אנו יודעים מראש את כל ההצגות - הן מהצורה , כלומר העברת היוצר אל חזקה של שורש יחידה. בפרט, טבלת הקרקטרים היא . למשל, הטבלה של היא
- חבורות אבליות - לפי הטענה לעיל על הטבלה של מכפלת חבורות ולפי מיון חבורות אבליות סופיות, מקבלים את כל הטבלאות של כל החבורות האבליות הסופיות.
- - נחשב ישירות את הטבלה של החבורה הסימטרית השלישית. יש בה 6 איברים, וההצגה היחידה של 6 כסכום של ריבועים שלמים היא . ואכן, יש שלוש מחלקות צמידות, מהצורה: . ההצגה השנייה היא הצגה הסימן, הצגה שיש בכל חבורה סימטרית על ידי העתקת הסימן. את השורה השלישית ניתן למצוא לפי יחס האורתוגונליות. סה"כ הטבלה היא .
- חבורות הסימטריה - באופן כללי, מבנה ההצגות של חבורות הסימטריה ידוע על פי דיאגרמות יאנג. כך ניתן למצוא את טבלת הקרקטרים, שאיברי יהיו תמיד מספרים שלמים. לפרטים, ראו למשל כאן.
- חבורות דיהדרליות - במקרה זה יש מבנה מפורש של מחלקות הצמידות ושל הטבלאות, התלוי בזוגיות של . למבנה המלא ראו למשל כאן.
קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- טבלת קרקטרים, באתר MathWorld (באנגלית)