זוג תצפיות תואמות

בסטטיסטיקה, זוג תצפיות תואמות הוא זוג תצפיות (נתונים) על שני משתנים הנמדדים בסולם סדר או סולם גבוה יותר, כך שיש התאמה בסדר בין שתי התצפיות.

הגדרה פורמלית

ההגדרה הפורמלית של זוגות תואמים ניתנה על ידי גודמן וקראסקל ב-1954:

יהיו $X$ ו-$Y$ שני משתנים מקריים הנמדדים בסולם סדר, רווח או מנה, ויהיו $(x_{1},\ y_{1})$ ו-$(x_{2},\ y_{2})$ זוג תצפיות על המשתנים $X$ ו-$Y$ שעלו במדגם.

התצפיות נקראות תואמות (concordant) אם הסימנים של ההפרשים בין הזוגות שווים, כלומר:

$\operatorname {sgn}(x_{2}-x_{1})=\operatorname {sgn}(y_{2}-y_{1})$.

כאשר

$\operatorname {sgn}(a-b)=\left\{{\begin{matrix}-1&:&a<b\\0&:&a=b\\1&:&a>b\end{matrix}}\right.$

באופן דומה, התצפיות הן בלתי תואמות (disconcordant) אם

$\operatorname {sgn}(x_{2}-x_{1})=-\operatorname {sgn}(y_{2}-y_{1})$.

דוגמה

במחקר שנערך על יכולות של תלמידי בית ספר תיכון, נאספו, בין השאר, נתונים על גבהי התלמידים ורמת ההצטיינות בספורט שלהם. בטבלה הבאה מוצגים נתונים של ארבעה תלמידים:

שם	רמת הצטיינות בספורט	גובה בסנטימטרים
ראובן	גבוהה	180
שמעון	בינונית	175
לוי	נמוכה	180
יהודה	גבוהה	170

שימו לב כי הגובה נמדד בסולם מנה בעוד שרמת ההצטיינות בספורט נמדדת בסולם סדר. לצורך ההדגמה הפורמלית נסמן את רמות ההצטיינות באותיות הלטיניות $H$, $M$ ו-$L$ עבור רמה גבוהה, בינונית ונמוכה, בהתאמה, ומתקיים כי $H>M>L$.

• התצפיות של ראובן ושמעון הן תואמות; הגובה של ראובן גדול מהגובה של שמעון, וכן רמת ההצטיינות של ראובן גבוהה מזו של שמעון. בניסוח מתמטי: $\operatorname {sgn}(180-175)=1$ וגם $\operatorname {sgn}(H-M)=1$.
• התצפיות של שמעון ויהודה הן בלתי תואמות; שמעון יותר גבוה מיהודה, אך רמת ההצטיינות שלו בספורט נמוכה מזו של יהודה. בניסוח מתמטי: $\operatorname {sgn}(175-170)=1$ אבל $\operatorname {sgn}(M-H)=-1$.
• התצפיות של ראובן ולוי אינן תואמות וגם אינן בלתי תואמות; הגבהים שלהם שוים, אך רמת ההצטיינות בספורט של ראובן גבוהה מזו של לוי. בניסוח מתמטי: $\operatorname {sgn}(180-180)=0$ אבל $\operatorname {sgn}(H-M)=1$.

שימושים

המושגים של תצפיות תואמות ובלתי תואמות משמשים להגדרה של מספר מדדים לעוצמת הקשר בין שני משתנים הנמדדים בסולם סדר, וביניהם מדד גאמא של גודמן וקראסקל, מדד Q של יול, מתאם טאו של קנדל, ומדד D של סומרס.

הערות שוליים

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "זוג תצפיות תואמות".