השערת ליטלווד

במתמטיקה, השערת ליטלווד היא השערה הנקראת על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ון אדנזור ליטלווד אשר שיער אותה בשנת 1930. ההשערה עוסקת בקירובים דיופנטים של מספרים, ומנוסחת כך: לכל שני מספרים ממשים α ו-β מתקיים:

$\liminf _{n\to \infty }\ n\,\Vert n\alpha \Vert \,\Vert n\beta \Vert =0$

כאשר $\Vert \,\Vert$ מסמל את המרחק מהמספר השלם הקרוב ביותר.

הגדרה שקולה

בהינתן זוג מספרים ממשים α ו-β, נסתכל על הנקודה (α,β) ועל הסדרה הבאה:

(2α,2β), (3α,3β), ....

לכל נקודה כזו נסתכל על הנקודת הסריג, על ידי מכפלת המרחק הקו הקרוב ביותר עם ערך שלם בקואורדינטת ה-x במרחק מהקו הקרוב ביותר עם ערך שלם בקואורדינטת ה-y. המרחק הזה לא יהיה גדול מ-1/4. ההשערה אומרת כי קיימת תת-סדרה שמתכנסת בקצב של (o(1/n.

תוצאות

על ידי שימוש בשיטות ארגודיות, הצליחו המתמטיקאים אילון לינדנשטראוס, מנפרד אינסידלר ואנטול קאטוק, להוכיח שלכמעט כל α,β ההשערה נכונה. למעשה הם אף הראו שמימד האוסדורף של כל הזוגות שאינם מקיימים את התוצאה הוא 0.

ראו גם

• קירוב דיופנטי