הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי

בגאומטריה דיפרנציאלית, הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי היא השערה מתמטית של קרל גוסטב יעקב יעקובי. לפי ההשערה:

לכל קאוסטיקה הנוצרת ממתיחת קווים גאוזיים מנקודה לא אמבילית $p$ על אליפסואיד יש בדיוק ארבע נקודות חוד.

בעוד שניסויים נומריים הובילו למסקנה שהטענה נכונה, רק ב-2004 היא הוכחה לראשונה על ידי המתמטיקאים Itoh ו-Kiyohara.

מאז היא הוכללה מן המקרה האליפסואידי למחלקה רחבה יותר של משטחים.

הסבר ההשערה

בהינתן נקודה נתונה $p$ על משטח נתון, ניתן למתוח את כל הקווים הגאודזיים היוצאים מ-$p$ החוצה. עבור משטח ספירי כל הקווים הגאודזיים הללו הם מעגלים גדולים ולפיכך היחסים ההדדיים ביניהם טריוויאליים - הם נפגשים רק בשתי נקודות אנטיפודיות. לעומת זאת, עבור נקודות לא אמביליות על אליפסואיד, המבנה הלא סימטרי של המשטח מקנה למשפחת הגאודזות הנמתחות החוצה מהנקודה התנהגות מעניינת: שני גאודזות סמוכות עשויות לשוב ולהיחתך בנקודה שנייה $p'$, ולאחר מכן להיפגש שוב בנקודה שלישית $p''$, וכך הלאה. המקום הגאומטרי של כל נקודות החיתוך $p'$ של גאודזות סמוכות הנמתחות מהנקודה $p$ הוא עקומה סגורה המכונה הקאוסטיקה מסדר ראשון של הנקודה $p$ על האליפסואיד. אז הטענה של יעקובי קובעת שלקאוסטיקה הזאת יש בדיוק ארבע נקודות חוד.

לקריאה נוספת

• Sinclair, R. (2003). "On the last geometric statement of Jacobi". Experimental Mathematics. 12 (4): 477–485.