גרמיאן

באלגברה ליניארית, מטריצת הגרמיאן (או מטריצת גראם) של סדרת וקטורים $v_{1},\dots ,v_{n}$ במרחב מכפלה פנימית היא המטריצה ההרמיטית שאיבריה הם כל המכפלות הפנימיות של שני וקטורים מתוך הסדרה, כלומר המטריצה אשר איבריה נתונים בנוסחה $G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle$. הדטרמיננטה של מטריצת הגרמיאן שווה לריבוע הדטרמיננטה של המטריצה המקורית ממנה נבנתה, על כן יישום חשוב אחד שלה הוא בקביעה האם סדרת וקטורים תלויה ליניארית: אוסף של וקטורים הוא בלתי תלוי ליניארית אם ורק אם דטרמיננטת הגרמיאן שונה מאפס.

נקראת על שם יורגן פדרסן גרם.

הגדרה ויישומים

במרחב וקטורי ממשי בעל מספר ממדים סופי עם המכפלה הסקלרית האוקלידית הסטנדרטית, הגרמיאן היא פשוט $G=V^{\mathrm {T} }V$ (או $G={\overline {V}}^{\mathrm {T} }V$ בעבור מרחבים וקטוריים מעל המרוכבים), כאשר $V$ היא המטריצה שעמודותיה הן הווקטורים $v_{k}$.

יישומים

• בגאומטריה רימנית, בהינתן יריעה משוכנת $k$-ממדית $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ ומערך קואורדינטות $\phi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ בעבור $(x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}$, תבנית הנפח $\omega$ המושרית על $M$ על ידי השיכון ניתנת לחישוב באמצעות הגרמיאן של סדרת וקטורים המהווים בסיס למרחב המשיק ל-$M$:

$\omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\tfrac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\tfrac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].$

נוסחה זאת מכלילה את הנוסחה הקלאסית לאינטגרל המשטחי של משטח פרמטרי $\phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}$ בעבור $(x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}$:

$\int _{S}f\ dA\ =\ \iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\tfrac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\tfrac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.$

שטח המשטח מתקבל מאינטגרל על פונקציה שערכה על המשטח קבוע על 1.

דטרמיננטת גרם

הדטרמיננטה של מטריצת הגרמיאן היא:

$G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.$

גאומטרית, דטרמיננטת הגרמיאן היא ריבוע הנפח של המקבילון היסודי הנוצר על ידי וקטורי העמודות של המטריצה. תוצאה זאת נובעת מתכונת הכפליות של הדטרמיננטה (הווה אומר, $det(AB)=det(A)\cdot det(B)$) ומכך שלפי הגדרת הגרמיאן $G=V^{\mathrm {T} }V$ (שכן הדטרמיננטה של מטריצה שווה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה).

ראו גם

• תהליך גרם-שמידט

קישורים חיצוניים

• גרמיאן, באתר MathWorld (באנגלית)