שארית של טור טיילור

גרף של $f(x)=e^{x}$ יחד עם הקירוב הליניארי שלו $P_{1}(x)=1+x$ סביב a = 0.

גרף של $f(x)=e^{x}$ (בכחול) יחד עם הקירוב הריבועי שלו $P_{2}(x)=1+x+x^{2}/2$ (באדום) סביב a = 0. שימו לב לשיפור בקירוב.

באנליזה מתמטית, שארית של טור טיילור מסדר $n$ של פונקציה, היא ההפרש בין ערך הפונקציה לבין ערכו של סכום $n$ הרכיבים הראשונים בטור טיילור שלה.

על פי העיקרון של טורי טיילור, פונקציה הניתנת לתיאור באמצעותו יכולה להכתב כך:

$$f(x)=P_{n}(x)+o(x^{n})$$

כאשר $P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{k}}{k!}}}$ הוא פולינום טיילור מסדר n, ו-$\ o(x^{n})$ הוא סימון אסימפטוטי לשארית המתקבלת מהקירוב על ידי פולינום טיילור מסדר n.

כיוון שהטור האינסופי אמור להתכנס אל הפונקציה בנקודה, השארית מתארת את השגיאה שבהחלפת הפונקציה בסכום חלקי של הטור. ישנן מספר שיטות לחסום שגיאה זאת. בניהן:

• השארית בצורת פאנו
• השארית בצורת לגראנז'
• השארית בצורת קושי

השארית בצורת פאנו איננה מפורשת, והוכחתה נובעת ישירות מהגדרת הנגזרת. שתי האחרות מפורשות יותר, וקושרות את השארית ה-$n$-ית לנגזרת ה-$n+1$. שתיהן נובעות ממשפט הערך הממוצע של לגראנז', שהוא בעצמו מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי.

אינטואיציה

אם פונקציה ממשית $f$ היא גזירה בנקודה $a$ אז יש לה קירוב ליניארי בנקודה $a$. זה אומר שקיימת פונקציה $h_{1}$ המקיימת:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\qquad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.$.

כאן $P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\$

הוא הקירוב הליניארי של $f$ בנקודה $a$. הגרף של $P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\$ הוא הקו המשיק לגרף של $f$ ב-$x=a$. השגיאה בקירוב היא: $R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a)\$.

אם היינו רוצים קירוב טוב יותר ל-$f$, היינו מתחשבים גם בשינוי השיפוע של f, כלומר בנגזרת השנייה של $f$ ב-$x=a$ - כלומר נקרב את הפונקציה קירוב ריבועי על ידי פולינום ריבועי במקום פונקציה ליניארית. במקום להשתמש בנגזרת אחת של $f$ ב-$a$, ניתן להשתמש בשתי נגזרות, וכך להשתמש בפולינום שיש לו אותו שיפוע וקעירות כמו לפונקציה $f$ בנקודה $a$. הפולינום הריבועי שמתקבל הוא:

$P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.\,$.

באופן דומה, ניתן לקרב את הפונקציה על ידי פולינום מסדר $n$ עבור כל $n$ - טבעי. נסמן פולינום זה ב - $P_{n}$ ואת השארית נסמן ב $R_{n}:=f-P_{n}$.

צורות השארית של לאגראנז' וקושי קובעות שהשארית תמיד תלויה בקצב השינוי של הנגזרת ה-n (כלומר בנגזרת ה-n+1) בנקודת ביניים בקטע שבו נעשה הפיתוח. אינטואיציה לנכונות הטענה היא שכל הנגזרות מסדר n + 2 ומעלה כבר "מובלעות" בהתנהגות של הנגזרת ה-n+1 בקטע בו נעשה הפיתוח, ולכן הערך הממוצע של $f^{(n+1)}$ בקטע (a,x₀) כבר מכיל את המידע על ההתנהגות של נגזרות מסדרים גבוהים יותר.

השארית בצורת לגראנז'

משפט: אם $f$ גזירה $k+1$ פעמים בקטע הסגור בין $a$ ל - $x$ אז מתקיים:

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}$$

כאשר $c$ היא נקודה כלשהי בקטע $\left[a,x\right]$.

הוכחה: נוכיח את המשפט באינדוקציה על $n$. בלי הגבלת הכלליות נניח ש:

• $a=0$
• $P_{n}=0$
• $x>0$

נפעיל את משפט הערך הממוצע של קושי על הפונקציות $f$ ו-$x^{k+1}$. נקבל שעבור נקודה $\eta$ כלשהי בקטע $(0,x)$ מתקיים:

$${\frac {f(x)}{x^{k+1}}}={\frac {f'(\eta )}{(k+1)\eta ^{k}}}$$

נפעיל כעת את הנחת האינדוקציה עבור הפונקציה $f'$ בנקודה $\eta$. נקבל שעבור נקודה $\xi$ כלשהי בקטע $(0,\eta )$ מתקיים:

$$f'(\eta )={\frac {(f')^{(k)}(\xi )}{k!}}\eta ^{k}$$

הצבת נוסחה זאת בקודמת נותנת את התוצאה הנדרשת.

דוגמאות

• נניח כי ברצוננו להעריך את הקבוע המתמטי e. מתקיים: $(e^{x})^{(n)}=e^{x}$. כמו כן פיתוח טיילור מסדר n של פונקציית האקספוננט סביב

a = 0 הוא $e^{x}\approx 1+x+...+{\frac {x^{n}}{n!}}$. לכן מתקיים: $R={\frac {f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}}\cdot (1-0)^{n+1}$ כאשר x בקטע $(0,1)$. ערכה המרבי של הנגזרת $f^{(n+1)}(x)$ בקטע (0,1) מתקבל בקצה הקטע, כלומר ב-x = 1 לכן מתקיים: $R<{\frac {f^{(n+1)}(1)}{(n+1)!}}={\frac {e^{1}}{(n+1)!}}={\frac {e}{(n+1)!}}$ . כיוון שידוע ש-$e<3$ מתקבלת התוצאה: $R<{\frac {3}{(n+1)!}}$.

• נניח כי ברצוננו להעריך את $\pi /4=arctan(1)$ בהתאם לנוסחת לייבניץ לפאי. מתקיים: $arctan(x)=x-x^{3}/3+x^{5}/5-...$ (כאשר $|x|$ לכל היותר 1). מן הצורה המתמטית של פיתוח טיילור של $arctan(x)$ נובע ש-$f^{(2n+1)}(0)=(-1)^{(n+1)}(2n)!$, לכן נקבל שהשארית בחישוב $arctan(1)$ היא $R<{\frac {1}{2n+1}}$, כלומר הטור מתכנס לאט מאוד (עקב העלייה המהירה בנגזרות של $arctan(x)$).

קישורים חיצוניים

• שארית של טור טיילור, באתר MathWorld (באנגלית)