פונקציית רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פונקציית רימן בקטע

פונקציית רימן (על שם המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן) או פונקציית הסרגל היא פונקציה ממשית שקבוצת נקודות האי-רציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים. הפונקציה מוגדרת בנקודות הרציונליות לפי (כאשר השבר מצומצם, כלומר זרים זה לזה), ומתאפסת בנקודות שאינן רציונליות. (ב- ערך הפונקציה הוא , כמו בכל מספר שלם).

הפונקציה מוכרת גם בשמות "פונקציית הסרגל", "פונקציית הפופקורן" ופונקציית תומה (Thomae's function; על שם המתמטיקאי הגרמני קארל יוהנס תומה).

נקודות האי-רציפות של הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית. מכאן שקבוצת נקודות האי-רציפות של הפונקציה היא צפופה, אך בעלת מידה אפס.

הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן (עם אינטגרל אפס) בכל קטע חסום, אך אינה רציפה ואינה מונוטונית באף קטע.

פונקציה נוספת עם אותן נקודות אי-רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה , ונגדיר לפי . כמו פונקציית רימן, הפונקציה המתקבלת רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.

קבוצת נקודות האי-רציפות של פונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה ממשית היא קבוצת (איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות). מכיוון שקבוצת המספרים האי-רציונליים אינה כזאת, אין פונקציה שנקודות האי-רציפות שלה הן הנקודות האי-רציונליות.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח שנקודות האי-רציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי מספר רציונלי, אזי , אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח כי אי-רציונלי, ויהי . בקטע באורך יחידה סביב יש רק מספר סופי של נקודות שבהן (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב שבו ומכאן רציפה בנקודה .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית רימן בוויקישיתוף