פולינום פקטה

השורשים של $f_{43}$ במישור המרוכב

בתורת המספרים במתמטיקה, פולינום פקטה הוא הפולינום $\ f_{p}(z)$ המוגדר לכל $\ p$ ראשוני על ידי:

$$f_{p}(z)=\sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)z^{k}$$

כאשר $\left({\frac {k}{p}}\right)$ הם סימני לז'נדר, והסכום הוא עבור $1\leq k\leq p-1$

פולינומים אלה היו ידועים בחקר פונקציות L של דיריכלה שנערכו במאה ה-19, ולמעשה גם לדיריכלה עצמו. הם נקראים על שם מיכאל פקטה, שהבחין שהיעדרם של אפסים ממשיים של פולינום פקטה $\ f_{p}(z)$ עם $\ 0<z<1$ גורר שלפונקציית L ${\begin{matrix}L\left(s,\left({\frac {k}{p}}\right)\right)\end{matrix}}\,$ אין אפסים עם $\ s>0$. לתכונה זו עניין רב בתורת המספרים, בהקשר של אפס זיגל ליד $\ s=1$.

קישורים חיצוניים

• Brian Conrey, Andrew Granville, Bjorn Poonen and K. Soundararajan, Zeros of Fekete polynomials, arXiv e-print math.NT/9906214, June 16, 1999