סילוגיזם

הסילוגיזם (מיוונית: συλλογισμός - syllogismos) או היקש הוא מונח יסוד בלוגיקה האריסטוטלית. הסילוגיזם הוא טיעון לוגי המורכב משלוש טענות: שתי הנחות ומסקנה אחת הנובעת מהן בהכרח. לדוגמה, הסילוגיזם הבא:

כל בני האדם הם בני תמותה (הנחה ראשית)
כל היוונים הם בני אדם (הנחה משנית)

לכן: כל היוונים הם בני תמותה (מסקנה)

הסילוגיזם הוא הצורה המופתית של ההיסק הדדוקטיבי בלוגיקה של אריסטו. כוחו של הסילוגיזם בכך שהוא מבטיח את אמיתותה של מסקנה אם ידוע שהנחותיה אמיתיות, כלומר הוא צורה של היסק בעל תקפות לוגית. הטענות המקושרות בסילוגיזם האריסטוטלי הן קטגוריות (categorical), דהיינו בכל אחת מהן מוכל נשוא על נושא, ומשום כך יש המכנים את הסילוגיזם הקלאסי "סילוגיזם קטגורי". בעקבות אריסטו, נעשה שימוש במונח 'סילוגיזם' גם לתיאורם של היסקים הכוללים טענות מסוגים אחרים, למשל סילוגיזם היפותטי וסילוגיזם סטטיסטי.

תקפות הטיעון והרעיון של צורה לוגית[עריכת קוד מקור | עריכה]

טיעון הוא קבוצה של משפטים (או קבוצה של טענות) שחלקם הנחות ואחד מהם הוא המסקנה, והקבוצה נחשבת טיעון כאשר המעבר בין ההנחות למסקנה הוא תקף, כלומר כאשר המסקנה נובעת בהכרח מן ההנחות. מהי נביעה הכרחית? כאשר ניתן לומר שאין מצב עניינים שבו ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית, כלומר כאשר אין דוגמה נגדית. באמצעות הניתוח של מבנן הבסיסי של טענות, אריסטו זיהה כי לטיעונים בעלי שתי הנחות ומסקנה ישנו מספר סופי של צורות, וחלק מהן הן כאלו שמשמרות את האמת של ההנחות וכך מבססות את אמיתותה של המסקנה. לטיעונים כאלו קרא אריסטו סילוגיזם.

נוכל להבין את הרעיון של הצורה הלוגית של טיעון תקף אם נחשוב על ההבדל בין תקפות ואמיתות. לדוגמה: נתונות שתי הנחות:

כל בני האדם הם בני תמותה.
כל היוונים הם בני אדם.

מסקנה: כל היוונים הם בני תמותה.

התקפות של טיעון זה כמעט ברורה מאליה. ברור גם שאם שתי ההנחות אמיתיות, גם המסקנה, בהכרח, אמיתית. אין באפשרותנו להעלות על דעתנו מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה אינה אמיתית. אבל מה אם אחת ההנחות שקרית? או אז הטיעון עודנו תקף, אף שבמקרה כזה ייתכן שהמסקנה שקרית. אריסטו סבור כי הטיעון תקף בזכות צורתו, ללא קשר לשאלה האם חלק מהטענות שקריות מבחינת התכן שלהן. ההבחנה בין טיעון תקף שבו ההנחות אמיתיות לטיעון תקף שבו ההנחות אינן אמיתיות היא ההבחנה בין נאותות (soundness) לאי-נאותות של הטיעון, אבל היא אינה משפיעה על תקפות הטיעון עצמה. צורתו הכללית של הטיעון הזה היא כזו:

כל ב' הוא ג'
כל א' הוא ב'

מסקנה: כל א' הוא ג'

לניתוח הצורני של מבנה הטיעון על פי אריסטו כמה מאפיינים חשובים: ראשית, ישנם בטיעון שלושה מונחים כוללים אשר כל טענה מקשרת בין שניים מהם. בטיעון תקף ישנו מונח מסוים (ב') אשר מופיע בהנחה הראשונה ומופיע שנית בהנחה השנייה, והוא המתווך בין שני המונחים (א' ו-ג'), אשר מופיעים כל אחד בהנחה אחת בלבד. במסקנה, המונח המתווך (ב') אינו מופיע כלל, ומה שהמסקנה מלמדת אותנו זה על הקשר שבין השניים האחרים (א' ו-ג'). אריסטו הוא שהמציא את מתודת ההפשטה המאפשרת להציג מונחים באמצעות אותיות, וזהו צעד חשוב בדרך להמצאתו של המשתנה. כמו כן, מלבד המונחים, המיוצגים באמצעות אותיות, מופיעים בגרסה הצורנית של הסילוגיזם קבועים לוגים, דהיינו מילים כגון "כל", "הוא" (האוגד), וכן מילים נוספות שלא הוצגו לעיל, כגון "חלק מ" והשלילה באמצעות "אינו". תוך הצרנת הטיעון, אך ורק השמות של המונחים מופשטים ממנו, ואילו הצורה הלוגית של הטיעון, המיוצגת באמצעות הקבועים הלוגיים, נשארת חשופה לעינינו.

מתפיסה זו של הצורה התקפה של הטיעון יוצא שאם בטיעון מסוים ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית אזי הטיעון אינו תקף. למשל בטיעון-לכאורה, שדומה לקודם:

כל בני האדם הם בני תמותה.
כל היוונים הם בני תמותה.

מסקנה-לכאורה: כל היוונים הם בני אדם.

נניח ששתי ההנחות אמיתיות. עדיין ייתכן שהמסקנה אינה נכונה, למשל אם אנו מוכנים להחשיב את סוסיהם של היוונים כיוונים. מכאן שבטיעון-לכאורה שבחנו ישנה בעיה - אין יחס של נביעה בין ההנחות והמסקנה. צורת הטיעון בה אנו מתבוננים איננה תקפה, וכל טיעון בעל אותה צורה יהיה טיעון בלתי תקף:

כל ג' הוא ב'
כל א' הוא ב'

מסקנה-לכאורה: כל א' הוא ג'

כל טיעון בעל צורה כזו אינו תקף, והוא יכונה כשל לוגי.

הערה נוספת: הניתוח של אריסטו מאפשר להתייחס לטענות שבהן מקושרים שני מונחים כוללים, שהם שמות של קבוצות. למעשה, הלוגיקה האריסטוטלית מועילה במיוחד לדון ביחסים בין מינים וסוגים (אריסטו החשיב את המחקר הטקסונומי בביולוגיה כצורה המופתית של המדע, ואת הסילוגיזם ככלי העבודה העיקרי של המדען). הסילוגיזם, אם כן, אינו רק טיעון אלא גם ניסיון לבטא מיון מדורג בין שלושה מונחים כלליים המציינים הפשטות כלליות, (לדוגמה: "בני אדם" "יונקים" ו"בני תמותה". אולם הניתוח האריסטוטלי מאפשר להתייחס גם לשמות פרטיים כאילו היו מונחים כוללים, וכך להציג את הטיעון התקף הבא:

כל בני האדם הם בני תמותה
סוקרטס הוא אדם

מסקנה: סוקרטס הוא בן תמותה

מרכיבי הסילוגיזם: הטענות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את הסילוגיזם האריסטוטלי מרכיבות שלוש טענות: הנחה ראשית, הנחה משנית ומסקנה, כשבכל אחת מהן ישנה החלה של מונח אחד (הנשוא) על מונח אחר (הנושא). באופן אידיאלי, כל סילוגיזם מורכב מיחס בין שלושה מונחים - הגדול (נשוא המסקנה), הקטן (נושא המסקנה) והאמצעי המקשר ביניהם.

אריסטו זיהה ארבעה סוגי טענות הכוללים יחס קטגורי בין נושא ונשוא. הקשר בין הנושא והנשוא יכולים להיות כולל או חלקי, חיובי או שלילי. כל טענה כזו סומנה, בימי הביניים, לפי אמות הקריאה a, e, i, o:

a - טענה כוללת (לדוגמה: כל בני האדם בני תמותה).
i - טענה חלקית (לדוגמה: חלק מבני האדם הם בני תמותה).
e - טענה כוללת שלילית (לדוגמה: אין בני אדם מושלמים).
o – טענה חלקית שלילית (לדוגמה: חלק מבני האדם אינם יוונים).

את הטענות הקטגוריות ניתן למיין על פי קריטריונים של איכות, כמות והפצה. איכות מתייחסת לשאלה האם הטענה מאשרת או מכחישה את החלת התכונה, שהיא נשוא הטענה, על הקבוצה שהיא נושא הטענה. כמות מתייחסת לכמות הנשואים בכיתה אחת הכלולים בכיתה האחרת. הפצה מתייחסת למה שניתן להסיק מהטענה. טענה מסוג a מפיצה את הנשוא לנושא, אך לא להפך. לדוגמה: מ"כל הסוסים הם יונקים". לא ניתן להסיק "כל היונקים הם סוסים", אולם טענה מסוג e מפיצה הנשוא לנושא וגם את הנושא לנשוא: מ"אין סוסים שהם זוחלים" ניתן להסיק: "אין זוחלים שהם סוסים"

את היחסים הללו בין הטענות השונות קודד אריסטו באמצעות כללי ההמרה הבאים, המאפשרים להמיר בין טענות:

מ"אין א שהוא ב" הסק: "אין ב שהוא א"
מ"כל ב הוא א" הסק: "חלק מ-א הוא ב"
מ"חלק מ-ב הוא א" הסק: "חלק מ-א הוא ב"

צורות הסילוגיזם[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנם אינסוף של סילוגיזמים תקפים, אולם ניתן לצמצם את מספר הצורות הלוגיות של הסילוגיזמים למספר קטן יחסית: 256 צורות. מבין אלו לא כולן תקפות, על פי כללי הלוגיקה של אריסטו. מספר הצורות התקפות הוא 24, וניתן לצמצם אותן למספר קטן עוד יותר אם משתמשים בכללי ההמרה כדי להראות כיצד טענות שונות הן למעשה שקולות או נובעות זו מזו.

את הצורות השונות של הסילוגיזם ניתן למיין לארבע קבוצות שכל אחת מהן היא בעלת "תמונה" (באנגלית: figure) שונה - המאפיינת את היחס בו עומדים המונחים השונים בהנחותיו של הסילוגיזם. אם למשל נכנה את הנושא והנשוא של המסקנה א' ו-ג' (בהתאמה) ואת המונח האמצעי ב', אז אלו הן התמונות האפשריות של הסילוגיזם:

		תמונה 1		תמונה 2		תמונה 3		תמונה 4
הנחה ראשית:		ב'-ג'		ג'-ב'		ב'-ג'		ג'-ב'
הנחה משנית:		א'-ב'		א'-ב'		ב'-א'		ב'-א'

את הסילוגיזמים שבכל אחת מן התמונות הללו אפשר למיין על פי ה"אופן" (באנגלית, mood) שלהם: ההרכב של הטענות מבחינת היותן כלליות, חלקיות, שליליות או חיוביות. לפי מערכת הקידוד של הטענות שהוצגה לעיל (כוללת=a, חלקית=i, כוללת שלילית=e, חלקית שלילית=o) ניתן לתאר סילוגיזמים שהאופן שלהם הוא aaa, eae, וכו'. למשל, הסילוגיזם בעל הצורה הבאה הוא בעל אופן aaa בתמונה 1:

כל בני התמותה (ב') הם קצרי ימים (ג')

כל בני האדם (א) הם בני תמותה (ב')

מסקנה: כל בני האדם (א') הם קצרי ימים (ג')

לסילוגיזם מסוג זה קראו בימי הביניים "ברברה" (Barbara), משום שבשם זה מופיעה האות a שלוש פעמים. דוגמה לסילוגיזם בעל אופן אחר (eae) בתמונה השנייה הוא זה המכונה Cesare:

כל היונקים (ג') אינם נושמים באמצעות זימים (ב').

כל הדגים (א') נושמים באמצעות זימים (ב').

מסקנה: כל הדגים (א') אינם יונקים (ג').

גם את שאר הצורות של הסילוגיזמים התקפים שאריסטו בחן בכתביו ציינו הלוגיקאים של ימי הביניים בשמות שאמות הקריאה שבהם מביעות את האופן של צירוף הטענות:

תמונה 1	תמונה 2	תמונה 3	תמונה 4
Barbara כל ב' הוא ג' כל א' הוא ב' לכן, כל א' הוא ג'	Cesare אף ב' אינו ג' כל ב' הוא א' לכן, אין א' שהוא ג'	Datisi כל ג' הוא ב' חלק מא' הם ב' לכן, חלק מא' הם ג'	-
Celarent אף ב' אינו ג' כל א' הוא ב' לכן, אף א' אינו ג'	Camestres כל ב' הוא ג' אף ב' אינו א' לכן, אף א' אינו ג'	Disamis חלק מג' הם ב' כל א' הוא ב' לכן, חלק מא' הם ג'	-
Darii כל ב' הוא ג' חלק מא' הם ב' לכן, חלק מא' הם ג'	Festino אין ב' שהוא ג' חלק מב' הם א' לכן, חלק מא' אינם ג'	Ferison אין ב' שהוא ג' חלק מב' הם א' לכן, חלק מא' אינם ג'	-
Ferio אין ב' שהוא ג' חלק מא' הם ב' לכן, חלק מא' אינם ג'	Baroco כל ג' הוא ב' חלק מא' אינם ב' לכן, חלק מא' אינם ג'	Bocardo חלק מב' אינם ג' כל ב' הוא א' לכן, חלק מא' אינם ג'	-
-	-	Felapton אף ב' אינו ג' כל ב' הוא א' לכן, חלק מא' אינם ג' (אם ב' אינה קבוצה ריקה)	-
-	-	Darapti כל ב' הוא ג' כל ב' הוא א' לכן, חלק מא' הם ג' (אם ב' אינה קבוצה ריקה)	-

כפי שניתן לראות בטבלה זו, אריסטו לא בחן חלק מן הצורות האפשריות, דהיינו חלק מן השילובים בין האופנים והתמונות, ובמיוחד את אלו שבתמונה הרביעית. זאת משום שסבר שניתן, באמצעות כללי ההמרה, לצמצם את מספר הצורות התקפות של הסילוגיזמים לאלו שבהן הוא עסק באופן מפורש (יתרה מזו, ניתן לצמצם את כולם לצורות מן התמונה הראשונה). עם זאת ניתן להציע טבלה ממצה של האפשרויות השונות לסילוגיזמים התקפים שאלו יהיו שמותיהם:

תמונה 1	תמונה 2	תמונה 3	תמונה 4
Barbara	Cesare	Datisi	Calemes
Celarent	Camestres	Disamis	Dimatis
Darii	Festino	Ferison	Fresison
Ferio	Baroco	Bocardo	Calemos
Barbari	Cesaro	Felapton	Fesapo
Celaront	Camestros	Darapti	Bamalip

דיאגרמות ון עבור סילוגיזמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לבדוק האם הסילוגיזם תקף, אפשר לבנות דיאגרמת ון (מכונה גם דיאגרמת ג'ונסטון) לווידוא תקפותם.

כאשר בונים דיאגרמה, יש להציג שלושה עיגולים, האחד להנחה הראשית, לצידו אחר למשנית והשלישי להנחה האמצעית, הצריכה לחפוף חלקית לראשית, למשנית ולמקום בו שתיהן נפגשות. יש לצבוע את השטחים שבהם אין חפיפה בין הקבוצות. אם שלושת החלקים אינם צבועים, המסקנה נכונה בהכרח.

לדוגמה, בסילוגיזם שנבחן קודם^{[דרושה הבהרה]} עשב הוא המונח הראשי, סוקרטס המשני וסוסים הם האמצעי. בהצבה בסיסית, איור שלושתם יחדיו יראה כך:

מאחר שבהנחה הראשונה נטען כי כל הסוסים אוכלים עשב, הרי שעלינו להסיר את הצביעה מנקודת החפיפה בין הסוסים לעשב:

בהמשך, מאחר שסוקרטס הוא סוס, הרי שעלינו להסיר את הצביעה מנקודת החפיפה בין סוקרטס לסוסים:

משתי ההנחות קיבלנו מצב שבו האזור בו חופפת ההנחה המשנית את הראשית, המשנית ואת החפיפה בין שתיהן אינו צבוע ומכאן שהסילוגיזם הזה נכון.

כללים נוספים לווידוא תקפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סילוגיזם קטגורי חייב לכלול בדיוק שלושה תנאים, לא יותר ולא פחות (ראו כשל ארבעה תנאים)
אם הנחה כלשהי היא שלילית, המסקנה חייבת להיות שלילית (ראו כשל מסקנה מחייבת מהנחה שוללת).
אין שתי הנחות שוללות (ראו כשל הנחות בלעדיות).
כל תנאי המופץ במסקנה חייב להיות מופץ בכל הנחה.
התנאי האמצעי חייב להיות מופץ פעם אחת בלבד (ראו כשל אמצע לא מופץ)
לא ניתן להגיע למסקנה פרטיקולרית משתי הנחות אוניברסליות (ראו כשל קיומי).