נגזרת כיוונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציה רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון. זוהי הכללה של הנגזרת החלקית, שבה כיוון הנגזרת הוא במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מספר טבעי , פונקציה סקלרית ווקטורים ו-, מגדירים את הנגזרת הכיוונית של בכיוון בנקודה על ידי הגבול:

כאשר היא הנורמה של , כלומר .

אם נגזרת כיוונית זו קיימת אומרים כי גזירה בכיוון בנקודה .

תתכנה פונקציות אשר עבור נקודה כלשהי אינן גזירות לכל כיוון . באופן דומה, תתכנה פונקציות אשר עבור כיוון כלשהו אינן גזירות בכל נקודה .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ליניאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן זוג פונקציות גזירות בכיוון בנקודה , ובהינתן מתקיים כי:

כלומר, פעולת הנגזרת הכיוונית היא ליניארית.

כלל לייבניץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן זוג פונקציות גזירות בכיוון בנקודה , מתקיים כי:

כלומר, הנגזרת הכיוונית מקיימת את כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה.

כלל השרשרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן הפונקציה הסקלרית ופונקציה ממשית , כאשר כזירה בכיוון בנקודה וכן גזירה בנקודה , מתקיים כי:

זאת כאשר היא הנגזרת של . זוהי גרסה כיוונית של כלל השרשרת.

עבור פונקציות דיפרנציאביליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט של באמצעות:

כאשר מציין מכפלה סקלרית, ו־ מציין את וקטור היחידה בכיוון .


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא נגזרת כיוונית בוויקישיתוף