משפט שני הטורים של קולמוגורוב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט שני הטורים של קולמוגורוב מתאר תנאי להתכנסות בהסתברות של תהליך מקרי. משפט זה נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב, ויש לו תפקיד באחת מההוכחות המקובלות של החוק החזק של המספרים הגדולים.

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי

תהי $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים במרחב הסתברות $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)$. נניח כי הם בעלי תוחלות סופיות שנסמן $\mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}$ ובעלי שונויות סופיות שנסמן $\mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}$.

אם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}$ מתכנס והטור $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ מתכנס, אז גם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ מתכנס בהסתברות $1$. כלומר,

$$\mathbb {P} \left(\omega \in \Omega \mid \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}\left(\omega \right)~{\text{converges}}\right)=1$$

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $\mu _{n}=0$ (אחרת נתבונן בסדרת המשתנים המקריים $\left(X_{n}-\mu _{n}\right)_{n=1}^{\infty }$, שתוחלתם היא אפס ושונויותיהם זהות לאלה של $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$). נסמן $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$, ונראה שמתקיים $\limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0$ בהסתברות $1$.

נשים לב שעבור כל $m\in \mathbb {N}$ מתקיים,

$$\limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|$$

ולכן לכל $m\in \mathbb {N}$ ולכל $\epsilon >0$ מתקיים,

$${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}$$

כאשר אי השוויון שבשורה השלישית נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב.

מההנחה כי הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ מתכנס, נובע כי הביטוי האחרון שואף לאפס כאשר $m\to \infty$. בחרנו $\epsilon >0$ שרירותית, ולכן ההסתברות הזאת היא בהכרח $0$ לכל $\epsilon >0$, כנדרש.

לקריאה נוספת

• Durrett, Rick. Probability: Theory and Examples. Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.
• M. Loève, Probability theory, Princeton Univ. Press (1963) pp. Sect. 16.3
• W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9