משפט פאלטינגס

בתורת המספרים, משפט פאלטינגס קובע שלעקום אלגברי בעל גנוס גדול מ-1 מעל שדה המספרים הרציונליים (או שדה מספרים אחר) יש לכל היותר מספר סופי של נקודות רציונליות. את המשפט שיער לראשונה לואי מורדל ב-1922, והוא נודע כהשערת מורדל, עד שב-1983 הוכיח אותו גרד פאלטינגס.

לדוגמה, המשפט קובע שלמשוואה מהצורה $y^{2}z^{3}=x^{5}+z^{5}$ או $x^{5}+y^{5}=xz^{4}+x^{4}z$ יכול להיות רק מספר סופי של פתרונות במספרים שלמים.

לצד המקרה של גנוס $g>1$ שבו מטפל המשפט, לעקום חלק עשוי להיות גם גנוס $g=0$ (ואז, אם יש עליו נקודות רציונליות, מספרן אינסופי), או $g=1$ (ואז, אם יש נקודות רציונליות, זהו עקום אליפטי, ולפי משפט מורדל הוא חבורה אבלית נוצרת סופית).

מסקנות מן המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נובעת ממנו גרסה חלשה של המשפט האחרון של פרמה: לכל $n>4$ יש לכל היותר מספר סופי של פתרונות שלמים (ונטולי גורם משותף) למשוואה $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ .
נובע ממנו "משפט האיזוגניה" שלפיו שתי יריעות אבליות עם מודולי טייט איזומורפיים (מעל $\mathbb {Q} _{\ell }$ עם פעולתה של חבורת גלואה), הן איזוגניות.

כדי להוכיח את המשפט, הוכיח פאלטינגס את "השערת שפרביץ'", שלפיה יש רק מספר סופי של מחלקות איזומורפיזם של יריעות אבליות ממימד קבוע ובעלות מעלת פולריזציה קבועה מעל שדה מספרים נתון, עם רדוקציה טובה מחוץ לקבוצה נתונה של הערכות על השדה. העובדה שהשערת מורדל נובעת מתוצאה זו, הוכחה על ידי Parshin ב-1971.

גרסה של השערת מורדל לשדות פונקציות מעל שדה סופי הוכחה על ידי יורי מאנין (1963) (ב-1990 מצא Robert F.Colman פער בהוכחה זו) ו-(Hans Grauert (1965.