משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)

משפט ליוביל הוא משפט באלגברה דיפרנציאלית, הקובע תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של פונקציה קדומה אלמנטרית לפונקציה נתונה. את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל ב-1835.

מהמשפט עולות דוגמאות מפורסמות לאינטגרלים לא מסוימים שאינם פונקציות אלמנטריות, כגון פונקציית השגיאה $\int e^{-x^{2}}\ dx$, האינטגרל הלוגריתמי ההפוך $\ \int {\frac {1}{\ln x}}\ dx$ (המוכר ממשפט המספרים הראשוניים) ו-$\ \int {\frac {\sin x}{x}}\ dx$.

רקע

פונקציה אלמנטרית היא פונקציה המתקבלת ממספר סופי של פעולות פשוטות על פונקציות בסיסיות. פורמלית, ניתן לבנות את הפונקציות האלמנטריות באופן אלגברי כמתואר להלן.

יהי $F$ שדה עם פעולת גזירה $a\mapsto a'$. השדה $F$ יחד עם הפעולה $a'$ נקרא שדה דיפרנציאלי. אוסף האיברים $F_{C}=\{a\in F:a'=0\}$ הוא תת-שדה של $F$ הקרוי שדה הקבועים של $F$.

אקספוננט של איבר $a\in F$ הוא איבר המסומן $e^{a}$ שמקיים: $(e^{a})'=a'e^{a}$ (זהו אנלוג אלגברי של פונקציית האקספוננט). באופן דומה, לוגריתם של איבר $a\in F$ הוא איבר המסומן $\log a$ שמקיים: $(\log a)'=a'/a$ (זהו אנלוג אלגברי של הלוגריתם הטבעי).

הרחבת שדות דיפרנציאלית זהה להרחבת שדות רגילה בכפוף לתנאי שהנגזרות מזדהות על השדה הקטן. הרחבה דיפרנציאלית $K/F$ נקראת הרחבה אלמנטרית של $F$ אם קיימת שרשרת סופית של הרחבות $F=K_{0}\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{n}=K$ כך שלכל $0\leq i<n$ מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:

• $K_{i+1}=K_{i}(a)$ כאשר a אלגברי מעל $K_{i}$.
• $K_{i+1}=K_{i}(e^{a})$ כאשר $a\in K_{i}$.
• $K_{i+1}=K_{i}(\log a)$ כאשר $a\in K_{i}$.

המשפט

יהי $a\in F$ ותהי $K/F$ הרחבה אלמנטרית כך ש-$F_{C}=K_{C}$, וכן קיים $b\in K$ המקיים $b'=a$. אזי קיימים קבועים $c_{1},\ldots ,c_{n}\in F_{C}$ ואיברים $u_{1},\ldots ,u_{n},v\in F$ כך שמתקיים:

$a=\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\frac {u_{i}'}{u_{i}}}+v'$

במילים אחרות, לכל איבר בשדה דיפרנציאלי עם קדומה אלמנטרית יש קדומה בשדה, עד כדי סכום של מספר סופי של לוגריתמים.