משפט ויויאני

איור 1: לכל נקודה P במשולש שווה-צלעות סכום האנכים s+u+t שווה לגובה המשולש כולו.

משפט ויויאני הוא משפט בגאומטריה, על שם המתמטיקאי, הפיזיקאי, והאסטרונום האיטלקי וינצ'נסיו ויויאני (1622–1703) הטוען שסכום שלושת האנכים לצלעות מכל נקודה בתוך משולש שווה-צלעות שווה לגובה המשולש. למשפט יש הרחבות גם לצורות גאומטריות אחרות והוא הבסיס לשימוש בדיאגרמה טרנארית .

הוכחת המשפט

הוכחת משפט מסתמכת על הטענה המוקדמת ששטח משולש כלשהו שווה לחצי מכפלת אורך בסיס המשולש בגובהו (כלומר לחצי מכפלת אורך צלע בגובה הנמדד מאותה צלע). יהי ABC משולש שווה-צלעות שגובהו h ושאורך כל אחת מצלעותיו הוא a. תהי P נקודה כלשהי במשולש, ויהיו u,s,t אורכי האנכים מ-P לצלעות. ציירו קווים ישרים מ-P לקודקודי המשולש A,B,C כך שייווצרו שלושה משולשים PAB, PBC, ו-PCA. ראו איור 1.

שטחי שלושת המשולשים הללו הם ${u\cdot a \over 2}$ ,${s\cdot a \over 2}$, ${t\cdot a \over 2}$. שלושת המשולשים הללו ממלאים בדיוק את המשולש ABC ששטחו ${h\cdot a \over 2}$. לכן ניתן לרשום:

${u\cdot a \over 2}$ + ${s\cdot a \over 2}$ + ${t\cdot a \over 2}$ = ${h\cdot a \over 2}$

ומכאן נובע ש h=t+s+u. מש"ל.

גרסה פופולרית של המשפט

כדרך להציג את המשפט לילדים יש המנסחים אותו בצורה הבאה:

גולשת נותרה על אי בודד בצורת משולש שווה-צלעות. הגולשת רוצה לגלוש בכל יום בחוף אחר. לכן, היא מעוניינת להקים את הצריף שלה בנקודה באי שתקצר את זמן ההליכה הממוצע ככל האפשר.

התשובה המפתיעה היא שמיקום הצריף לא משנה.

המשפט בכיוון ההפוך

המשפט בניסוח הפוך גם כן מתקיים: אם סכום שלושת האנכים לצלעות מכל נקודה במשולש זהה אזי המשולש הוא שווה-צלעות.

שימושים

איור 2: דיאגרמה טרנארית של התחום הדליק של מתאן.

משפט ויויאני הוא הבסיס לשימוש בדיאגרמה טרנארית. הדיאגרמה הטרנארית באיור 2 לדוגמה מציגה את התחום הדליק של תערובת של שלושה גזים: חמצן, מתאן וחנקן. כל נקודה במשולש שווה השוקיים של הדיאגרמה מייצג תרכובת שונה של שלושת הגזים, כשהתרכובת מוגדרת על ידי ציון חלקו של כל גז בתרכובת הכללית. החלק של כל גז מיוצג על ידי האנך מהנקודה לצלע המתאימה לגז. גובה המשולש מוגדר כ-100% ולכן, לפי משפט ויויאני, סכום חלקי הגזים יהיה תמיד 100% בכל נקודה במשולש.

למשל בנקודה O אורך האנך לצלע של החמצן (הצלע NM) הוא 100%, ואורך שני האנכים האחרים הוא 0% ולכן הנקודה O מייצגת תרכובת של חמצן טהור. כך גם הנקודה M מייצגת תערובת של מתאן טהור והנקודה N תערובת של חנקן טהור. לעומת זאת בכל הנקודות שעל צלע החמצן אורך האנך לצלע החמצן הוא 0% ולכן צלע החמצן מייצגת תרכובות המכילות מתאן וחנקן בלבד. כל קו ישר המקביל לקו החמצן ונמצא מעליו בתוך המשולש מייצג אוסף תרכובות שבהן אחוז החמצן שווה, וההבדל ביניהן הוא רק בחלק היחסי של מתאן וחנקן. איור 2 מראה רשת קווים בתוך המשולש כך שכל קו מקביל לאחת הצלעות, ולכן, מייצג תרכובות שבהן הגז של הצלע המקבילה נשאר קבוע. הנקודה באמצע המשולש רחוקה משלוש הצלעות מרחק אנכי שווה ולכן היא מייצגת תרכובת בה חלקי שלושת הגזים שקולים. האזור הכתום באיור 2 מכיל נקודות המתאימות לתרכובות דליקות של חמצן, מתאן וחנקן.

באופן כללי דיאגרמה טרנארית שימושית להצגת מצבים המיוצגים על ידי שלושה משתנים שסכומם קבוע, כמו דיאגרמת דליקות של איור 2, וגם הצגת חלוקה של גנוטיפים באוכלוסייה (דיאגרמת דה-פינטי), או במשחק סכום אפס בתורת המשחקים (משחק בו סכום הרווחים וההפסדים קבוע ומתחלק בין השחקנים).

הכללות של משפט ויויאני

מקבילית

סכום ארבעת האנכים לצלעות מכל נקודה במקבילית בלתי תלוי במקום הנקודה. גם הטענה ההפוכה נכונה - כלומר אם סכום האנכים במרובע בלתי תלוי במקום הנקודה אזי המרובע הוא מקבילית. טענה זו ניתנת להכללה לכל מצולע בעל 2n צלעות שבו כל זוג צלעות נגדיות הן מקבילות. זאת כיוון שבכל נקודה סכום האנכים לצלעות הנגדיות הוא קבוע ולכן כך גם סכום המרחקים הללו. הטענה ההפוכה אבל לא מתקיימת, כיוון שלמשל במשושה שווה-צלעות סכום האנכים לא תלוי במקום הנקודה גם את זוגות צלעות נגדיות אינן מקבילות.

מצולע משוכלל

במצולע משוכלל (שבו כל הצלעות והזוויות שוות) סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה. באופן ספציפי, אם למצולע יש n צלעות אזי סכום האנכים שווה ל n פעמים האפותם של המצולע (כלומר לאורך הגבהים או התיכונים ממרכז המצולע). הטענה ההפוכה לא מתקיימת.

מצולע שווה זוויות

במצולע שווה זוויות סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה.

מצולע קמור

במצולע קמור סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה אם ורק אם קימות שלוש נקודות שאינן ממוקמות על אותו ישר והן בעלות סכום אנכים שווה.

פאון משוכלל

בפאון משוכלל סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה. הטענה ההפוכה אבל לא מתקיימת, אף לא בארבעון.

קישורים חיצוניים

• משפט ויויאני, באתר MathWorld (באנגלית)