משפט הרציפות של קולמוגורוב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט הרציפות של קולמוגורוב הוא משפט המבטיח שתהליך מקרי שהמומנטים שלו מקיימים תנאי מסוים, ניתן להתייחס אליו כאל תהליך מקרי רציף, במובן זה שהוא שווה לתהליך רציף בהסתברות 1.

נוסח פורמלי

יהי $\left(S,d\right)$ מרחב מטרי. יהי $X_{t}:\Omega \to S$ תהליך מקרי המוגדר עבור $t\in \left[0,\infty \right)$.

נניח כי לכל $T>0$ קיימים קבועים ממשיים וחיוביים $\alpha ,\beta ,K$, כך שמתקיים לכל $0\leq s,t\leq T$, $\mathbf {E} \left[d\left(X_{t},X_{s}\right)^{\alpha }\right]\leq K\cdot \left|t-s\right|^{1+\beta }$

אזי קיימת "גרסה" של $\left\{X_{t}\right\}_{t\in \left[0,\infty \right)}$ שהיא תהליך רציף. כלומר, קיים תהליך מקרי $\left\{Y_{t}\right\}_{t\in \left[0,\infty \right)}$ שהוא רציף במשתנה $t$, כך שמתקיים כי $\mathbb {P} \left(X_{t}=Y_{t}\right)=1$ לכל $t\geq 0$.

יתרה מזו, המסילות $Y_{t}$ מקיימות את תנאי הלדר לכל קבוע $0<\gamma <{\frac {\alpha }{\beta }}$.

שימושים

משפט זה משמש באחת הבניות של תנועה בראונית, יחד עם משפט ההרחבה של קולמוגורוב. משפט ההרחבה מאפשר בנייה של תהליך מקרי המקבל ערכים במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ שהתפלגותו היא כשל תנועה בראונית, ומשפט הרציפות מבטיח כי מתוך התהליך המתקבל ממשפט ההרחבה ניתן לקבל תהליך שהוא אכן רציף.

קישורים חיצוניים

• Fabrice Baudoin, Lecture 6. The Kolmogorov continuity theorem