משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.

ניסוח

תהי $f\in C^{1}(U,\mathbb {R} ^{n})$ (גזירה ברציפות) כאשר $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ פתוחה ותהי נקודה $\mathbf {a} \in U$. נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים $\det \mathrm {J} _{f}(\mathbf {a} )\neq 0$ (כלומר הדיפרנציאל בה, $\mathrm {D} f(\mathbf {a} )$, הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה $\mathbf {a} \in V\subseteq U$ כך ש-$W=f(V)$ אף היא פתוחה, והפונקציה $f\colon V\to W$ חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית $f^{-1}\colon W\to V$ אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות $W$ מתקבל על ידי

$\mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}$

לכל $\mathbf {x} \in V$, כאשר $\mathbf {y} =f(\mathbf {x} )$ (צורות רישום נוספות: $\mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(f^{-1}(\mathbf {y} ))]^{-1}$ או $\mathrm {D} f^{-1}(f(\mathbf {x} ))=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}$).

דוגמה

תהי הפונקציה $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ המוגדרת על ידי $f(x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)$. פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור $2\pi$ של ערכי $y$. עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם

$\mathrm {J} _{f}(x,y)={\begin{pmatrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\end{pmatrix}}$

ואזי היעקוביאן הוא $\det \mathrm {J} _{f}(x,y)=e^{2x}\neq 0$. מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.

ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת $f(z)=e^{z}$ ולכל סביבה של נקודה קיים ענף של פונקציית הלוגריתם המרוכבת $g(w)=\log w$ המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: $e^{z+i2\pi k}=e^{z}$ לכל $k\in \mathbb {Z}$).

מקרה פרטי

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו $n=1$: תהי $f\colon U\to \mathbb {R}$ גזירה ברציפות. תהי $a\in U$ נקודה המקיימת $f'(a)\neq 0$.

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת $\delta >0$ כך שלכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ ,$f'(x)\neq 0$.

נניח כי $f'(a)>0$ אז מהיות $\ f'$ רציפה, לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, $\ f'(x)>0$ שהרי אחרת היה קיים $x_{0}\in (a-\delta ,a+\delta )$ עבורו $f'(x_{0})=0$ ממשפט ערך הביניים.

לכן $f$ מונוטונית עולה ממש בכל $(a-\delta ,a+\delta )$, מה שגורר כי $f$ חד-חד-ערכית בכל $(a-\delta ,a+\delta )$. מכאן ניתן להגדיר $f^{-1}\colon f((a-\delta ,a+\delta ))\to (a-\delta ,a+\delta )$ הגזירה בכל נקודה פנימית ב-$y_{0}\in f(a-\delta ,a+\delta )$ (נסמן $y_{0}=f(x_{0})$), שכן ניתן לחשב ולקבל כי

$(f^{-1})'(y_{0})=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}}=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {1}{\frac {y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}$

כלומר

$\left(f^{-1}\right)'(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}$

(אכן $f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )$ ובקטע זה הנגזרת של $f$ שונה מ-$0$).

קישורים חיצוניים

• משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות בבלוג "לא מדויק"
• משפט הפונקציה ההפוכה, באתר MathWorld (באנגלית)