משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות

סקיצת ההעתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה

משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין מימד התחום לבין מימד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.

בכתיב מתמטי: יהיו $U$ ו-$V$ תתי מרחבים וקטורים מעל שדה $F$. נגדיר את $f$ להיות העתקה ליניארית, $f:U\rightarrow V$, אזי

$$\dim _{F}Im(f)+\dim _{F}\ker(f)=\dim _{F}U$$

.

הוכחת המשפט

אסטרטגיה

נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום מימד התמונה ומימד הגרעין שווה למימד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.

הוכחה

בחירת סדרות וקטורים מתאימות

נקח את $u_{1},...,u_{k}$ להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת $v_{1},...,v_{m}$ להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, מימד הגרעין הוא $k$ ומימד התמונה הוא $m$. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את $v_{1},...,v_{m}$ כך: $f(w_{1}),...,f(w_{m})$, (כאשר $w_{1},\dots ,w_{m}$ וקטורים ב-$U$). צריך להוכיח שמימד התחום הוא $m+k$. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ מהווה בסיס של התחום $U$.

הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב $U$

נראה כי $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})=U$. תחילה, נראה כי $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\subseteq U$: כל וקטור בסדרת הווקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ מוכל ב-$U$ בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\subseteq U$. כעת, נראה כי $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\supseteq U$: נקח וקטור כללי מ-$U$ ונסמנו $u$. נתבונן בהצגה היחידה של $f(u)$ על ידי בסיס התמונה: $f(u)=a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m}$. כעת, נתבונן בוקטור

$$u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})\in U$$

(ששייך ל-$U$, מכיוון ש-$U$ הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה $f$ על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו-$f$ היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים:

$$f(u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m}))=f(u)-(a_{1}\cdot f(w_{1})+...+a_{m}\cdot f(w_{m}))=a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m}-(a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m})=0$$

לכן נובע ש-$u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})\in \ker(f)$, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין:

$$u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})=b_{1}\cdot u_{1}+...+b_{k}\cdot u_{k}$$

ולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של $u$ על ידי צירוף הווקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$:

$$u=a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m}+b_{1}\cdot u_{1}+...+b_{k}\cdot u_{k}$$

ולכן, $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\supseteq U$. קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})=U$.

הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית

כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים $c_{1},...,c_{m},s_{1},...,s_{k}$ הצירוף הליניארי של הווקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ מביא לאפס המרחב הווקטורי. צריך להוכיח כי $c_{1}=...=c_{m}=s_{1}=...=s_{k}=0_{F}$ (תנאי שקול לאי תלות ליניארית). לפי הנחה זו:

$$c_{1}w_{1}+...+c_{m}w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k}=0_{U}$$

נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית $f$:

$$f(c_{1}w_{1}+...+c_{m}w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k})=c_{1}f(w_{1})+...+c_{m}f(w_{m})+0+...+0=c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}=0$$

(הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0). ואם כן מכיוון ש-$v_{1},...,v_{m}$ בסיס של התמונה, אזי המקדמים $c_{1},...,c_{m}$ הם אפסים (מכיוון שהווקטורים $v_{1},...,v_{m}$ בלתי תלויים ליניארית). ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל $0\cdot w_{1}+...+0\cdot w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k}=0_{U}$ ומאותם שיקולים של היות $u_{1},...,u_{k}$ בסיס, נובע ש-$s_{1},...,s_{k}$ אפסים. ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש-$w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.

סיכום

הראנו ש-$w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את $U$ ולכן הם מהווים בסיס עבור $U$. אם כן, נשים לב שמימדו של $U$ הוא $m+k$. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את מימד התמונה להיות $m$ ומימד הגרעין להיות $k$, אזי לפיכך נקבל:

$$\dim _{F}Im(f)+\dim _{F}\ker(f)=\dim _{F}U$$

שזה מה שצריך להוכיח.

קישורים חיצוניים

• Chris Fama, MP274 Lecture Notes 1991, numbertheory
• משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות, באתר MathWorld (באנגלית)