משפט הממדים

מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים (בשפות אחרות ידוע בשם זהות גראסמן או נוסחת גראסמן, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם. בצורה פורמלית:

$$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$$

.

הוכחה

יהיו $U$ ו-$W$ תת-מרחבים של $V$, שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.

נניח כי $\dim(U\cap W)\neq \{0\}$ וניקח בסיס לחיתוך $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}$ (ההוכחה עובדת גם עבור $\dim(U\cap W)=\{0\}$)

נשלים אותו בשתי דרכים:

• לבסיס של $U$: $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}$
• לבסיס של $W$: $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},w_{1},...,w_{m}\}$

כעת נשאר להוכיח: $\dim(U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m$, ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה $\{v_{1},...,v_{k},u_{1},...,u_{l},w_{1},...,w_{m}\}$ היא בסיס ל-$U+W$. ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):

פרישה

יהי $v\in U+W$, קיימים $u_{0}\in U$ ו-$w_{0}\in W$ כך ש $v=u_{0}+w_{0}$ הקבוצה $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}$ היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים $\alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l}$ כך שמתקיים

$$u_{0}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}$$

באופן דומה, עבור W,

$$w_{0}=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}$$

מכאן שמתקיים

$$,u_{0}+w_{0}=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}$$

ולכן הקבוצה פורשת.

תלות ליניארית

יהיו $\alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l},\gamma _{1},...,\gamma _{m}$ סקלרים כך ש:

$$.\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0$$

כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון:

$$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}$$

קיבלנו וקטור ב$U\cap W$ (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב-$W$ ובאגף שמאל וקטור ב-$U$). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של $\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}$ שהוא בסיס ל-$U\cap W$.

קיימים $\delta _{1},...,\delta _{k}$ כך שמתקיים:

• $\sum _{i=1}^{k}\delta _{i}v_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}$
• $\sum _{i=1}^{k}\delta _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0$

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי $W$ ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור $\gamma _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq m$

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=0$

קיבלנו צירוף ליניארי של איברי $U$ ולכן הקבוצה בת"ל.

לכן בפרט, $\beta _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq l$ $\alpha _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq k$

מש"ל ■

ראו גם

• משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות
• עקרון ההכלה וההפרדה

קישורים חיצוניים

• הוכחה, באתר ProofWiki