משפט הופקינס-לויצקי

משפט הופקינס-לויצקי (Hopkins–Levitzki theorem) הוא משפט בתורת החוגים, הקובע כי כל חוג ארטיני שמאלי הוא גם נתרי שמאלי. הטענה נכשלת מעל מודולים כלליים. המשפט נקרא על שם צ'ארלס הופקינס ויעקב לויצקי.

הוכחה

מספיק להוכיח כי לחוג יש סדרה נורמלית. יהי $J=Jac(R)$ רדיקל ג'ייקובסון של החוג. ידוע כי רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, נניח $J^{k}=0$. נביט בשרשרת:

$$R\supseteq J\supseteq \dots \supseteq J^{k}=0$$

כל גורם שלה הוא מהצורה $M_{i}=J^{i-1}/J^{i}$; זהו מודול ארטיני מעל $R/J$, ולכן פשוט למחצה. לכל מודול פשוט למחצה יש סדרת הרכב, ולכן גם לחוג כולו, כדרוש.

ניתן לתת הוכחה מעט מסובכת יותר תוך שימוש ברדיקל הראשוני.

הכללות

למשפט יש מספר ניסוחים כלליים יותר, והמשותף לכולם הוא שהם מקשרים בין תנאי השרשרת העולה לתנאי השרשרת היורדת.

חוג $R$ נקרא עיקרי-למחצה (semiprimary) אם $J(R)$ אידיאל נילי ו-$R/J(R)$ חוג פשוט למחצה. אחד ההכללות למשפט היא שמודול מעל חוג עיקרי-למחצה הוא בשקילות ארטיני, נתרי ובעל סדרת הרכב (כלומר, כל אחד מהתנאים גורר את האחרים).

הגרסה הקודמת נובעת מגרסה זו, שכן כל חוג ארטיני שמאלי הוא עיקרי-למחצה.

דוגמה נגדית למודול כללי

כאמור, המשפט נכון רק עבור חוגים: לא כל מודול שמאלי ארטיני הוא שמאלי נתרי. למשל, נביט בחבורה הקוואזי-ציקלית $\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]/\mathbb {Z}$. יש בה שרשרת עולה אינסופית $\left\langle {\frac {1}{p}}\right\rangle \subset \left\langle {\frac {1}{p^{2}}}\right\rangle \subset \dots$, ולכן איננה נתרית. היא כן ארטינית, שכן כל שרשרת $\left\langle {\frac {1}{n_{1}}}\right\rangle \supseteq \left\langle {\frac {1}{n_{2}}}\right\rangle \supseteq \dots$ גוררת $n_{i}|n_{i-1}$, ולכן יש איבר קטן ביותר, כלומר היא סופית.