משפט דה גואה

פירמידה עם פינה ישרה

משפט דה-גואה הוא משפט בגאומטריה המהווה הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן פול דה-גואה דה-מלבס. המשפט קובע שאם בפירמידה יש פינה ישרה (שלוש הזוויות היוצרות את הפינה, הן זוויות ישרות, ראו תמונה משמאל) אז סכום ריבועי השטחים היוצרים את הפינה הישרה שווה לריבוע שטח הפאה הרביעית.

$Area_{\color {blue}ABO}^{2}+Area_{\color {green}ACO}^{2}+Area_{\color {red}BCO}^{2}=Area_{ABC}^{2}$

ניתן להכליל את משפט פיתגורס ואת משפט דה-גואה גם לממדים גבוהים יותר משלוש.

הוכחות

הוכחה גאומטרית

הוכחת משפט דה-גואה

נעביר אנך מהקודקוד O החותך את הפאה ABC בנקודה H ואנך מ-C החותך את הישר AB בנקודה K. (CK עובר דרך הנקודה H). אזי מתקיים: ${\tfrac {HK}{OK}}={\tfrac {OK}{CK}}$ (כי שני הביטויים מייצגים את קוסינוס הזווית שבין המישורים AOB ו ACB). מהשיווין הקודם נקבל כי $Area_{ABC}\cdot Area_{AHB}={\tfrac {{CK}\cdot {AB}}{2}}\cdot {\tfrac {{HK}\cdot {AB}}{2}}=Area_{AOB}^{2}$. באותו אופן מראים כי $Area_{ABC}\cdot Area_{BHC}=Area_{BOC}^{2}$ וְ- $Area_{ABC}\cdot Area_{AHC}=Area_{AOC}^{2}$. לאחר סיכום שלושת השוויונים הנ"ל ומכיוון ש $Area_{AHB}+Area_{BHC}+Area_{CHA}=Area_{ABC}\,$ נקבל: $Area_{\color {blue}ABO}^{2}+Area_{\color {green}ACO}^{2}+Area_{\color {red}BCO}^{2}=Area_{ABC}^{2}$. מ.ש.ל.

הוכחה אנליטית

נצייר מערכת צירים קרטזית בשלושה ממדים. נסמן: $OA=a,OB=b,OC=c$. נזהה את הנקודה O עם ראשית הצירים ואת הנקודות A,B,C עם הווקטורים (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c). שטח המשולש ABC שווה למחצית המכפלה וקטורית של הווקטורים AB ו AC ולכן:

$Area_{ABC}^{2}=({\frac {1}{2}}\|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\|)^{2}={\frac {1}{4}}\|(bc,ac,ab)\|^{2}={\frac {1}{4}}(b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2})=Area_{BOC}^{2}+Area_{AOC}^{2}+Area_{AOB}^{2}$

קישורים חיצוניים

• משפט דה גואה, באתר MathWorld (באנגלית)
• הרחבה של משפט פיתגורס למרחב ממימד 3 ויותר