משפט גלפנד-מזור
משפט גלפנד-מזור הוא משפט בסיסי בתאוריה של אלגברות בנך, שזכה להכללות רבות. על שמם של ישראל גלפנד וסטניסלב מזור (Stanisław Mazur).
לפי המשפט, כל אלגברת חילוק (אסוציאטיבית) נורמית[1] מעל שדה המספרים הממשיים היא אחת מבין האלגברות (ממשיים, מרוכבים, קווטרניונים). זוהי הכללה של משפט פרובניוס, שלפיו כל אלגברת חילוק מממד סופי מעל הממשיים היא אחת מהנ"ל.
למשפט גלפנד-מזור כמה הוכחות, שאחדות מהן מבוססות על כך שהספקטרום של אבר באלגברת בנך (מרוכבת) הוא תמיד קבוצה קומפקטית לא ריקה, או גרסאות של עובדה זו עבור אלגברות בנך ממשיות.
הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]
כל אלגברת חילוק אסוציאטיבית A מעל הממשיים היא אחת מבין האלגברות אם מניחים אחד מהבאים:
- ל-A ממד סופי (משפט פרובניוס);
- מוגדרת על A סמי-נורמה תת-כפלית;
- A היא תמונה של אלגברה נורמית, או שהיא ניתנת לשיכון לתוך אלגברה נורמית.
כל אלגברה נורמית ממשית היא אחת מבין האלגברות , אם מניחים אחד מהבאים:
- באלגברה אין מחלקי אפס טופולוגיים[2] (משפט Kaplansky).
- A היא אלגברת בנך עם יחידה, שבה הנורמה מקיימת לקבוצה פתוחה של איברים הפיכים x (משפט Aupetit).
- A היא אלגברת בנך ללא מחלקי אפס, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
- לאלגברה יש נורמה אוניפורמית[3] יחידה.
- לאלגברה יש יחידה והיא אלגברית.
- לאלגברה יש יחידה והיא נתרית.
- לאלגברה יש יחידה, היא תחום פריקות יחידה (לא קומוטטיבי), והאידיאל הנוצר על ידי כל איבר ראשוני הוא סגור.
- הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
- הנורמה המושרית היא אוניפורמית.
- לאלגברה יש יחידה, והנורמה המושרית מן המכפלה הפנימית מקיימת ו-.
- לאלגברה יש אינוולוציה, והנורמה המושרית מקיימת .
- לאלגברה יש אינוולוציה ואיבר יחידה, הנורמה המושרית מקיימת ו-, ואין בה איברים איזוטרופיים ().
אלגברה אלטרנטיבית ממשית היא אחת מבין האלגברות אם מניחים אחד מהבאים:
- האלגברה נורמית ואין בה מחלקי אפס טופולוגיים;
- אם האלגברה עם יחידה, והיא מרחב מכפלה פנימית שהנורמה המושרית בו מקיימת ו-.
את משפט פרובניוס מכליל משפט Bott-Milnor, שלפיו כל אלגברה לא אסוציאטיבית ממשית מממד סופי עם חילוק היא אחת מבין האלגברות .
לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]
- S.J. Bhatt, S.H. Kulkarni, Gelfand-Mazur Theorems in normed algebras: A survey, Expo. Math. (2017). [1]