סכימה של החלק הממשי של גל בלוך בממד אחד
גל בלוך שְווה פוטנציאל בסריג צורן (סיליקון)
בפיזיקת המצב המוצק , משפט בלוך מאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי , דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות גלי בלוך או פונקציות בלוך .
המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928[1] .
למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות .
למשפט מספר ניסוחים שקולים.
אם
V
(
r
→
)
{\displaystyle V({\vec {r}})}
הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים
V
(
r
→
+
R
→
)
=
V
(
r
→
)
{\displaystyle V({\vec {r}}+{\vec {R}})=V({\vec {r}})}
עבור כל וקטור הזזה סריגית
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
, אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך:
פונקציית בלוך
ψ
k
→
(
r
→
)
=
e
i
k
→
⋅
r
→
u
k
→
(
r
→
)
{\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u_{\vec {k}}({\vec {r}})}
כאשר לפונקציה
u
{\displaystyle u}
יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
בסריג ולכל הזזה סריגית
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
מתקיים
u
k
→
(
r
→
+
R
→
)
=
u
k
→
(
r
→
)
{\displaystyle u_{\vec {k}}({\vec {r}}+{\vec {R}})=u_{\vec {k}}({\vec {r}})}
.
פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן
H
=
p
→
2
2
m
+
V
(
r
→
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}
עבור האלקטרונים.
בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
, כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})}
לכל הזזה סריגית
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
.
מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג, ההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג, המוגדרים על ידי:
T
R
→
f
(
r
→
)
=
f
(
r
→
+
R
→
)
{\displaystyle T_{\vec {R}}f({\vec {r}})=f({\vec {r}}+{\vec {R}})}
.
כמו כן אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה. כלומר, ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:
T
R
→
ψ
(
r
→
)
=
C
(
R
→
)
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})}
כאשר
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}})}
היא פונקציה עצמית גם של ההמילטוניאן.
מכיוון שהזזה ב-
R
→
2
{\displaystyle {\vec {R}}_{2}}
ואחריה הזזה ב-
R
→
1
{\displaystyle {\vec {R}}_{1}}
שקולה להזזה ב-
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle {\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}}
, מתקיים:
C
(
R
→
1
+
R
→
2
)
ψ
(
r
→
)
=
T
R
→
1
+
R
→
2
ψ
(
r
→
)
=
T
R
→
1
T
R
→
2
ψ
(
r
→
)
=
C
(
R
→
1
)
C
(
R
→
2
)
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}}T_{{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})}
ולכן:
C
(
R
→
1
+
R
→
2
)
=
C
(
R
→
1
)
C
(
R
→
2
)
{\displaystyle C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})}
הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט , ולכן:
C
(
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
{\displaystyle C({\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}}
.
לסיום:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
=
T
R
→
ψ
(
r
→
)
=
C
(
R
→
)
ψ
(
r
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})}
וזה הניסוח השני של המשפט.
בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.
נכפיל את אגף ימין ואת אגף שמאל ב־
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
{\displaystyle e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}}
:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
=
e
i
k
→
⋅
R
→
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
e
−
i
k
→
⋅
R
→
=
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}=\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}
נגדיר:
u
(
r
→
)
≡
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
{\displaystyle u({\vec {r}})\equiv \psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}
ולכן:
ψ
(
r
→
+
R
→
)
e
−
i
k
→
⋅
(
r
→
+
R
→
)
=
ψ
(
r
→
)
e
−
i
k
→
⋅
r
→
⇒
u
(
r
→
+
R
→
)
=
u
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\Rightarrow u({\vec {r}}+{\vec {R}})=u({\vec {r}})}
כלומר הפונקציה
u
(
r
→
)
{\displaystyle u({\vec {r}})}
היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.
לפי ההגדרה של
u
(
r
→
)
{\displaystyle u({\vec {r}})}
נקבל:
ψ
(
r
→
)
=
e
i
k
→
⋅
r
→
u
(
r
→
)
{\displaystyle \psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u({\vec {r}})}
מ.ש.ל
Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8)
^ יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר