משוואת לפלס

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה $\nabla ^{2}f=0$ כאשר $\nabla ^{2}$ הוא אופרטור הלפלסיאן.

המשוואה קרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר-סימון לפלס ויש לה שימושים רבים בפיזיקה. מהווה מקרה פרטי של משוואת פואסון.

פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית. משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית אליפטית, ולכן פונקציות הרמוניות, שהן פתרונותיה, הן אנליטיות.

תכונות של משוואת לפלס בשני ממדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות היא:

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0

משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:

ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם $\ u(x,y)$ הרמונית, גם $\ u(x-a,y-b)$ הרמונית;
ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם $\ u(r,\theta )$ הרמונית, גם $\ u(r,\theta +\gamma )$ הרמונית;
ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם $\ u(x,y)$ הרמונית, גם $\ u({\frac {x}{\delta }},{\frac {y}{\delta }})$ הרמונית.

כאשר $\ a,b,\gamma ,\delta$ כולם קבועים.

שימושים בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמה:

פוטנציאל חשמלי באזור ריק ממטענים, מקיים את משוואת לפלס.
התפלגות הטמפרטורה של גוף במצב יציב מקיימת את משוואת לפלס.

משוואת לפלס באנליזה מרוכבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

באנליזה מרוכבת, הרכיבים הממשי והמדומה של כל פונקציה אנליטית מקיימים את משוואת לפלס. תוצאה זו נובעת ממשוואות קושי-רימן ומכך שגזירות פונקציה אנליטית פעם אחת מספיקה כדי להסיק גזירותה אינסוף פעמים (כדי שהנגזרות החלקיות השניות המעורבות יהיו שוות).

בנוסף, לפונקציה $u$ המקיימת את משוואת לפלס (הנקראת גם פונקציה הרמונית) ניתן לעיתים למצוא פונקציה הרמונית צמודה $v$ , כלומר כך שהפונקציה המרוכבת $u+iv$ תהיה אנליטית. פונקציה כזו קיימת באופן נקודתי בתחום פתוח, אך קיומה באופן גלובלי לא מובטח. משפט מאנליזה מרוכבת קובע כי תחום הוא תחום פשוט קשר אם ורק אם לכל פונקציה הרמונית יש הרמונית צמודה לה בכל התחום.