מרחב קשיר מסילתית

בטופולוגיה, קשירות מסילתית היא עידון של תכונת הקשירות של מרחבים טופולוגיים.

מרחב טופולוגי הוא מרחב קשיר מסילתית אם ניתן לחבר כל שתי נקודות שלו על ידי מסילה רציפה במרחב. במילים אחרות: מרחב $X$ הוא קשיר מסילתית, אם לכל שתי נקודות $x,y$ ב-$X$, קיימת פונקציה רציפה $f$ מקטע היחידה $[0,1]$ אל $X$, המקיימת $f(0)=x,f(1)=y$.

דוגמאות: $\mathbb {R}$, וכן כל קטע ב-$\mathbb {R}$, הם קשורים מסילתית. גם כל מרחב אוקלידי $d$-ממדי, לכל $d$, הוא קשיר מסילתית.

אם מוציאים מספר בן-מניה של נקודות ממרחב אוקלידי $d$-ממדי כלשהו, כאשר $d>1$, השארית קשורה מסילתית.

הקשר בין קשירות מסילתית לקשירות

טענה: כל מרחב קשיר מסילתית הוא קשיר.

הוכחה: יהי $X$ מרחב קשיר מסילתית. נניח בשלילה כי הוא אינו קשיר, לכן קיימת העתקה $f:X\to \{0,1\}$ שהיא רציפה ועל.

נבחר $x\in f^{-1}(0)$ ו $y\in f^{-1}(1)$. מכיוון ש-$X$ קשיר מסילתית, קיימת מסילה $\gamma \colon [0,1]\to X$ מ-$x$ ל-$y$.

נתבונן בהעתקה $f\circ \gamma \colon [0,1]\to \{0,1\}$. היא רציפה (כהרכבת רציפות) ועל. אבל זה עומד בסתירה לכך ש-$[0,1]$ קשיר.

לעומת זאת, ההפך אינו נכון כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה.

דוגמה למרחב קשיר אשר אינו קשיר מסילתית

עקומת הסינוס של הטופולוגים - דוגמה לקבוצה קשירה שאינה קשירה מסילתית

נתבונן בקבוצות

$A=\{(x,\sin(1/x)):0<x<1\}$

$B=\{(0,y):-1\leq y\leq 1\}$

נבחין כי שתיהן קשירות מסילתית. עם זאת, איחודן, $A\cup B$, המכונה עקומת הסינוס של הטופולוגים ומופיע בתרשים משמאל, הוא קבוצה קשירה, שאינה קשירה מסילתית: לא ניתן לחבר במסילה נקודה של $A$ עם נקודה של $B$.

קשירות מסילתית ורציפות

• תמונת רציפה של מרחב קשיר מסילתית היא קשירה מסילתית.

הוכחה: תמונה רציפה של מסילה היא מסילה.

מסקנה: מרחבי מנה של מרחבים קשורים-מסילתית הם קשורים-מסילתית (כי העתקות מנה הן פונקציות רציפות ועל).

מכפלה של מרחבים קשורים מסילתית

מכפלה של מרחבים היא קשירה מסילתית אם ורק אם כל קואורדינטה קשירה מסילתית.

באופן פורמלי: בהינתן $\{X_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ מרחבים לא ריקים. אז הם קשירים מסילתית אם"ם מכפלתם, $\prod _{\alpha \in I}X_{\alpha }$, קשירה מסילתית.

הוכחה: כיוון ראשון: נניח כי כל $X_{\alpha }$ קשיר מסילתית.

יהיו $x=(x_{\alpha })$ ו- $y=(y_{\alpha })$ שתי נקודות ב $\prod _{\alpha \in I}X_{\alpha }$. לכל $\alpha \in I$ קיימת מסילה $\gamma _{\alpha }\colon [0,1]\to X_{\alpha }$ בין $x_{\alpha }$ ל-$y_{\alpha }$. לכן נתבונן ב-

$\gamma :=\times _{\alpha }\gamma _{\alpha }\colon [0,1]\to \prod _{\alpha \in I}X_{\alpha }$ (כלומר, מתקיים $\pi _{\alpha }\circ \gamma =\gamma _{\alpha }$ לכל $\alpha \in I$ כאשר $\pi _{\alpha }\colon \prod _{i\in I}X_{i}\to X_{\alpha }$ ההטלה על הרכיב ה-$\alpha$ של המכפלה)

היא רציפה כיוון שכל הקואורדינטות שלה רציפות ומתקיים: $\gamma (0)=x$ וגם $\gamma (1)=y$ כנדרש.

כיוון שני: נניח כי $\prod _{\alpha \in I}X_{\alpha }$ קשירה מסילתית. כל $X_{\alpha }$ לא ריק. לכן נבחר $a_{\alpha }\in X_{\alpha }$ לכל $\alpha \in I$. יהי $\beta \in I$ כלשהו. ויהיו $x_{\beta },y_{\beta }\in X_{\beta }$ נגדיר:

$x=\{x_{\beta }\}\times \prod _{\alpha \neq \beta }a_{\alpha }$

$y=\{y_{\beta }\}\times \prod _{\alpha \neq \beta }a_{\alpha }$

(בסדר הנכון של ההכפלה. מקוצר לנוחות הכתיבה).

נבחין כי $x,y\in \prod _{\alpha \in I}X_{\alpha }$ ומכיוון שהמכפלה קשירה מסילתית קיימת מסילה $\gamma \colon [0,1]\to \prod _{\alpha \in I}X_{\alpha }$ המחברת בין $x$ ל-$y$. נטיל את המסילה על הקואורידנטה ה-$\beta$ ונקבל מסילה $\pi _{\beta }\circ \gamma \colon [0,1]\to X_{\beta }$ המחברת בין $x_{\beta }$ ל-$y_{\beta }$ כנדרש.

רכיבי קשירות מסילתית

בדומה לפירוק של מרחב למרכיבי קשירות, אפשר לפרק כל מרחב טופולוגי לרכיבי קשירות מסילתית, כאשר כל רכיב הוא קבוצה קשירה מסילתית שלא ניתן לחבר את נקודותיה במסילות לאף נקודה אחרת (זו למעשה חלוקה של המרחב למחלקות שקילות). בדוגמה של עקומת הסינוס של הטופולוגים, $A$ ו-$B$ הם רכיבי הקשירות המסילתית של המרחב $A\cup B$. חלוקת המרחב לרכיבי קשירות מסילתית היא עידון של החלוקה לרכיבי קשירות: כל רכיב קשירות הוא איחוד זר של רכיבי קשירות מסילתית.

רכיב הקשירות המסילתית של נקודה $x$ במרחב $X$ הוא הקבוצה הקשירה-מסילתית הגדולה ביותר המכילה את $x$ (כלומר איחוד של כל הקבוצות הקשירות מסילתית המכילות את $x$).

קשירות מסילתית וטופולוגיה אלגברית

לתכונת הקשירות המסילתית חשיבות מיוחדת בטופולוגיה אלגברית. בדרך כלל החבורה היסודית של מרחב טופולוגי תלויה בבחירה של נקודת הבסיס, והיא מושפעת רק מן המבנה של מרכיב הקשירות המסילתית של אותה נקודה. אם ניתן לחבר שתי נקודות במסילה, אז החבורות היסודיות המבוססות בנקודות אלה הן איזומורפיות זו לזו. מכיוון שכך, החבורה היסודית של מרחב קשיר מסילתית אינה תלויה בנקודת הבסיס.