מרחב המסרק

בטופולוגיה, מרחב המסרק (המסרק ההרמוני) הוא תת מרחב של המרחב הטופולוגי $\mathbb {R} ^{2}$, אשר דומה למסרק.

למרחב המסרק תכונות טופולוגיות מעניינות, והוא מהווה דוגמה נגדית נוחה במקרים רבים.

מרחב המסרק (המסרק ההרמוני), המוגדר על ידי איחוד של ציר x עם קווים המקבילים לציר y במרחק $\,1/n$ הוא קשיר מסילתית, אך אינו קשיר מקומית סביב הנקודה המסומנת

משפט היינה-בורל, ומשפטים חזקים נוספים, מאפשרים לתאר את הקבוצות הקומפקטיות במרחב האוקלידי. אפילו במקרה זה, המבנה של קבוצות קשירות מורכב יותר. לדוגמה, כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא קומפקטי מקומית, ועם זאת, מרחב קשיר אינו חייב להיות קשיר מקומית, אפילו אם מדובר על תת-מרחב של המרחב האוקלידי (ראו מרחב המסרק באיור משמאל).

הגדרה פורמלית

נתבונן ב-$\mathbb {R} ^{2}$ עם הטופולוגיה הסטנדרטית. תהי $K$ הקבוצה $\{0\}\cup \{1/n\mid n\in \mathbb {N} \}$. קבוצת המסרק $C$ מוגדרת:

$C=(K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})$

הקבוצה הראשונה באיחוד היא ה"שיניים" של המסרק, ואילו הקבוצה השנייה היא ה"ידית" שלו. הקבוצה $C$ עם הטופולוגיה המושרית היא מרחב המסרק (המסרק ההרמוני).

קשירות

מרחב המסרק (המסרק ההרמוני) הוא דוגמה למרחב קשיר שאינו מרחב קשיר מקומית.

ראו גם

• עקומת הסינוס של הטופולוגים