מרחב גאודזי

משולש גאודזי על הספירה הדו-ממדית: המסילות הגאודזיות על הספירה הן קשתות של "מעגלים גדולים", היינו מעגלים העוברים דרך מרכזה של הספירה

בטופולוגיה, מרחב גאודזי הוא מרחב מטרי $X$ (עם מטריקה $d$), שבו כל המרחקים נמדדים על ידי מסילות מתאימות. הדרישה המקובלת היא שלכל שתי נקודות $x,y$ במרחב תהיה איזומטריה מן הקטע $\ [0,d(x,y)]$ ל-$X$, המעבירה את נקודות הקצה ל-$x$ ול-$y$. מרחב כזה הוא, כמובן, קשיר מסילתית. המסילה המתקבלת מ-$x$ ל-$y$ נקראת מסילה גאודזית, והיא מתארת את המרחק הקצר ביותר בין הנקודות.

בין הדוגמאות החשובות למרחבים גאודזיים - יריעת רימן שלמה (ובפרט כל משטח רימן); וגרף שבו מקצים על כל קשת מטריקה של קטע ממשי. כל מרחב מטרי שלם שבו לכל $x,y$ יש נקודה $z$ ביניהן (נקודה $z\neq x,y$ כך ש-$d(x,z)+d(z,y)=d(x,y)$), הוא גאודזי.

דוגמה למרחב מטרי שאיננו גיאודוזי היא $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ (המישור האוקלידי ללא ראשית הצירים) שכן המרחק בין הנקודות $(1,0),(-1,0)$ הוא $2$, אך אין מסילה באורך $2$ בין נקודות אלו.

קיימות להגדרה גם וריאציות חזקות יותר, שבהן דורשים קיומה של איזומטריה מהישר הממשי, העוברת בכל זוג נקודות נתון. במרחבים כאלו אפשר להמשיך את הקטעים הגאודזים עד לאינסוף, לשני הכיוונים, ברוח האקסיומה השנייה של אוקלידס. במרחב גאודזי ממלאות המסילות הגאודזיות תפקיד דומה לזה של הקווים הישרים במרחב אוקלידי, ואכן, המרחב האוקלידי (ביחס למטריקה הנורמית) הוא מרחב גאודזי, שבו הגאודזים הם הקווים הישרים.

מקורות

• Herbert Busemann, "The geometry of Geodesics", 1955 (Dover edition: 2005).