יחס כפול

בהינתן רביעיית נקודות $(a,b,c,d)$ במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה: ${\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}$ . שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס ${\frac {(a-c)}{(a-d)}}$ ובין היחס ${\frac {(b-c)}{(b-d)}}$ .

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות $(a,b,c,d)$ יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את $(a,b,c,d)$ ב- $(b,a,d,c)$ נקבל את הביטוי ${\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}$ , השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול $\lambda$ , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

תמורה	תיאור קצר	ערכו של היחס הכפול
$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})$	תמורת הזהות	$\lambda$
$(z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})$	$z_{3}\leftrightarrow z_{4}$	${\frac {1}{\lambda }}$
$(z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})$	$z_{2}\leftrightarrow z_{3}$	$1-\lambda$
$(z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})$	$z_{2}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{2}$	${\frac {1}{1-\lambda }}$
$(z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})$	$z_{2}\leftrightarrow z_{4}$	${\frac {\lambda }{\lambda -1}}$
$(z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})$	$z_{2}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{2}$	${\frac {\lambda -1}{\lambda }}$

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו $a={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}},\ b={\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}},\ c={\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}},\ d={\begin{pmatrix}d_{0}\\d_{1}\end{pmatrix}}$ ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה $T$ העתקה פרויקטיבית המקיימת $T(a)=\infty$ , $T(b)=0$ ו־ $T(c)=1$ . היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות $T(d)$ .

הוכחת השקילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהיות $a,b,c$ שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את $c$ כצירוף ליניארי: $c=\alpha a+\beta b$ . אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש $a=\alpha a$ ו־ $b=\beta b$ . כלומר, מתקיים $T(\alpha a)=(1,0)$ (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן $T(\beta b)=(0,1)$ (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).