וסיקה פיסקיס

וסיקה פיסקיס כחיתוך של שני מעגלים בעלי אותו רדיוס

וסיקה פיסקיס (מלטינית: Vesica Piscis - שלפוחית השתן של הדג) היא צורה גאומטרית המתקבלת מחיתוך שני מעגלים בעלי אותו רדיוס, שהמרכז של כל אחד מהם נמצא על היקפו של האחר. שם אחר לצורה זו הוא מנדורלה (Mandorle) מהמילה שקד באיטלקית (mandorla).

במתמטיקה

הבנייה בספרו של אוקלידס

מבחינה מתמטית הצורה היא מקרה פרטי של עדשה - הצורה המתקבלת מחיתוך של שני מעגלים. הצורה מופיעה במשפט הראשון שבספר "יסודות" של אוקלידס, כאשר הוא בונה משולש שווה-צלעות באמצעות סרגל ומחוגה.

קודקודיו של המשולש הם שני מרכזי המעגלים ואחת מנקודות החיתוך של היקפי שני המעגלים.

שני מרכזי המעגלים ושתי נקודות החיתוך ביניהם (כלומר הפינות החדות) הם קודקדיו של מעוין החסום בווסיקה פיסקיס. המעוין מורכב משני משולשים שווי צלעות.

יחס ${\sqrt {3}}$ בין גובה לרוחב הצורה

רוחבה של הווסיקה פיסקיס שווה מההגדרה לרדיוס כל אחד מהמעגלים ולמרחק בין מרכזיהם.

גובה הווסיקה פיסקיס (המרחק בין שתי נקודות החיתוך של המעגלים) הוא פעמיים הגובה במשולש שווה-צלעות (ראו שרטוט תחתון). ניתן לחשב את הגובה גם לפי הנוסחה הכללית לחיתוך בין שני מעגלים: הגובה גדול פי השורש הריבועי של 3 מהרדיוס, כלומר היחס בין גובה הווסיקה פיסקיס לרוחבה (שניהם עוברים דרך המרכז של הווסיקה פיסקיס), הוא מספר אי-רציונלי שמתחיל ב ...1.7320508. היחסים 265:153 = ...1.7320261 ו 1351:780 = ...1.7320513 הם הקירוב הטוב ביותר לשורש זה, כלומר אין מספרים שלמים קטנים מהם שמשיגים קירוב טוב יותר. ארכימדס משתמש בשברים אלה כחסמים עליון ותחתון לשורש 3 בחיבורו "על המדידה של המעגל".

${\tfrac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\tfrac {265}{153}}\,$

חישוב השטח

השטחים הצבועים בכחול - משולש שווה-צלעות ומקטע מהווים יחד גזרה בגודל 60 מעלות, כלומר שישית מהעיגול.

שטח הווסיקה פיסקיס מורכב משני משולשים שווי-צלעות (אורך צלע r) וארבעה מקטעים (מקטע הוא חלק העיגול הכלוא בין מיתר לקשת המתאימה לו). בשרטוט משמאל מוצגים בכחול משולש אחד ומקטע אחד.

מקטע אחד עם משולש אחד מהווים יחד גזרה (פרוסת עוגה) בגודל 60 מעלות, כלומר שישית מהעיגול. שטח הגזרה הוא אם כן: ${\frac {1}{6}}\pi r^{2}$

שטח משולש שווה-צלעות עם צלע r הוא : ${\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}$.

שטח מקטע אחד הוא ההפרש בין שטח הגזרה לשטח המשולש: ${\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}$

שטח הווסיקה פיסקיס: שני משולשים + ארבעה מקטעים יהיה :

${\frac {1}{6}}(4\pi -3{\sqrt {3}})r^{2}=1.22837...r^{2}$

ניתן לחשב את השטח גם לפי הנוסחה הכללית לחיתוך בין שני מעגלים.

חישוב ההיקף

היקף הווסיקה פיסקיס הוא שתי קשתות של 120 מעלות (שתי פרוסות עוגה בשרטוט או פעמיים זווית משולש שווה-צלעות שהיא 60 מעלות). כל קשת אם כן היא שליש מהמעגל ולכן היקף הצורה הוא: ${\frac {4}{3}}\pi r$

באמנות ובאדריכלות

מסִפרו של צ'זארה צ'זאריאנו "אודות האדריכלות" -"האדם הוויטרובי"

באמנות הנוצרית למספר הילות של קדושים נוצרים הייתה צורת וסיקה פיסקיס אנכית, וחותמות של ארגוני דת הוטבעו פעמים רבות בתוך צורה זו במקום במעגל.

באדריכלות הגותית שימשה הצורה למדידת יחס. הארכיטקט והצייר האיטלקי צ'זארה צ'זאריאנו קרא לה "כלל הארכיטקטים הגרמנים" בספרו מ-1521, המתבסס על זה של ויטרוביוס "על אודות האדריכלות".

הצורה מופיעה במספר מפות של רכבת תחתית כדוגמת קהיר, ליל, מילאנו ורוטרדאם.

במיסטיקה

הראשונים להעריך צורה זו באופן מיסטי היו כנראה הפיתגוראים שראו בה צורה מקודשת. היחס בין הרוחב לאורך היה 265:153 שהוא קירוב טוב לשורש 3.

המספר 153 מופיע בבשורה על-פי יוחנן (פרק כ"א:11) כמספר הדגים שישו העלה בנס הדגים.

הצורה מופיעה גם בסמל הדג איכטוס (מיוונית ἰχθύς) ששימש יוונים ורומאים פגנים כמו גם נוצרים.

אצל הבונים החופשיים בימי הביניים לחותמות הייתה צורה זו ששימשה מקור לסמלים וסימנים נוספים.

כותבים של העידן החדש פירשו את הצורה כיוני – סמל לאברי המין הנשיים.

בקבלה נמצאת הצורה בפרח החיים.

• דוגמאות נוספות
• 
  מתוך כתב-יד מימי הביניים
• 
  פרח החיים (בקבלה)
• 
  סמל גואם
• 
  כיסוי באר הגביע למרגלות גלסטונברי טור
• 
  פילסטר - תבליט עמוד 400–700 לספירה
• 
  הצורה במפות רכבת תחתית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא וסיקה פיסקיס בוויקישיתוף