התפלגות ריילי

התפלגות ריילי

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \sigma$
תומך	$\ [0,\infty )$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\ {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}})$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ 1-\exp(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}})$
תוחלת	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \sigma$
סטיית תקן	$\ {\sqrt {\frac {4-\pi }{2}}}\sigma$
חציון	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,$
ערך שכיח	$\sigma \,$
שונות	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
אנטרופיה	$1+\ln \left({\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma ^{3}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$
צידוד	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
גבנוניות	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר $\ \sigma$, המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור.

פונקציית הצפיפות היא $f(x|\sigma )={\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}$.

המומנטים נתונים על ידי $\mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,$,

כאשר $\ \Gamma$ מסמנת את פונקציית גמא.

בפרט, מתקבלים:

התוחלת $\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$,

השונות ${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$,

הצידוד ${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$

והגבנוניות $-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$.

אמידת פרמטרים

בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר $\sigma$ (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה ${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}.$

דגימה מהתפלגות ריילי

בהינתן שיש בידינו משתנה מקרי u מהתפלגות אחידה רציפה סטנדרטית (בין 0 ל-1), אז למשתנה X המוגדר על ידי:

$X=\sigma {\sqrt {-2\ln(u)}}\,$

יש התפלגות ריילי עם פרמטר $\sigma$. תוצאה זו מושגת על ידי שימוש בשיטת דגימת ההעתקה ההופכית (ITS).

התפלגויות קשורות

• אם $\ X,Y\sim N(0,\sigma ^{2})$ משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז $\ R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
• אם $\ R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)$, אז $\ R^{2}$ מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש.
• אם $\ X$ מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, $\ X\sim \mathrm {Exponential} (x|\lambda )$, אז

$\ Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (y|\sigma )$.

• אם $\ R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ אז לסכום הריבועים $\ \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}$ יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- $2\sigma ^{2}$:

$\ [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})$.

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וייבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא ליניארית, וערכה הוא $h(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\!$.

ראו גם

• התפלגות נורמלית
• התפלגות רייס

לקריאה נוספת

• Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות ריילי בוויקישיתוף

• התפלגות ריילי, באתר MathWorld (באנגלית)