השערת גלפנד-קירילוב

השערת גלפנד-קירילוב היא השערה אלגברית בתורת ההצגות הגאומטרית, שהוצעה על ידי ישראל גלפנד ואלכסנדר קירילוב ב-1966. ההשערה הופרכה בניסוחה הכללי, אך מקרים פרטיים חשובים שלה הוכחו ברבות השנים.

ניסוח ההשערה

תהי ${\mathfrak {g}}$ אלגברת לי (מרוכבת) מממד סופי המתאימה לחבורה אלגברית. תהי $U({\mathfrak {g}})$ המעטפת האסוציאטיבית האוניברסלית שלה ויהי $D$ חוג השברים של $U({\mathfrak {g}})$. השערת גלפנד-קירילוב טוענת ש-$D$ איזומורפי לחוג השברים של אלגברת וייל מסדר כלשהו, מעל שדה הפונקציות הרציונליות $\mathbb {C} (x_{1},\dots ,x_{s})$.

מקרים תקפים ודוגמות נגדיות

ההשערה תקפה עבור אלגברות לי פתירות או פשוטות למחצה מטיפוס $A_{n}$. בשנת 1996 בנו Alev, Ooms ו-Van den Bergh דוגמה נגדית להשערת גלפנד-קירילוב דוגמה זו נבנית כמכפלה ישרה למחצה של אלגברת לי המתאימה לחבורת לי אלגברית קשירה לא-מיוחדת פשוטה למחצה עם הצגה סוף ממדית שלה בעלת מייצב גנרי טריוויאלי. מתברר שבדוגמה זו מתקיימת גרסה חלשה של השערת גלפנד-קירילוב: חוג השברים של אלגברת המעטפת אמנם אינו איזומורפי לחוג השברים של אלגברת וייל, אך לאחר הרחבת סקלרים (טרנסצנדנטית טהורה) הוא נעשה כזה.

ב-2010, הראה Permet כי אם השערת גלפנד-קירילוב תקפה לגבי אלגברת לי מסוימת, אזי שדה הפונקציות הרציונליות מעליה במאפיין חיובי גדול דיו הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של תת-שדה האינווריאנטים (ביחס לחבורה). בשילוב עם עבודות קודמות, הדבר אפשר לו להסיק כי אלגברות לי מטיפוסים $B_{n}$ (עבור $n\geq 3$), $D_{n}$ (עבור $n\geq 4$), $E_{6},E_{7},E_{8}$ ו-$F_{4}$ אינן מצייתות אף הן להשערת גלפנד-קירילוב.