הדלתא של קרונקר

הדלתא של קרונקר (על שם המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר) היא סימון שימושי ביותר באלגברה ליניארית בפרט ובמתמטיקה ובפיזיקה בכלל.

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&:i=j\\0&:i\neq j\end{cases}}$

כלומר, זו פונקציה של שני משתנים (בדרך כלל שלמים) המקבלת את הערך 1 כאשר המשתנים שווים זה לזה, ואת הערך 0 כאשר הם שונים זה מזה. פעמים רבות מתייחסים לדלתא של קרונקר כאל כתיב מקוצר, ולא כאל פונקציה.

משמעות

• אפשר להבין את ההגדרה לעיל פשוט כסימון מקוצר, שאפשר לשלב בביטויים בהם יש הפרדה למקרים, במקום לרשום ניסוח מילולי מייגע.
• אפשר להבין את ההגדרה לעיל ככתיב טנזורי של מטריצת היחידה, שכן אם נתייחס לאינדקסים של טנזור הדלתא כאל קואורדינטות במטריצה נקבל מטריצה שבה כל איברי האלכסון הם 1 ואילו כל השאר הם 0. לכן מקובל לרשום ${\text{Id}}=I=\delta _{ij}$.
• כאשר מתייחסים לדלתא של קרונקר בתור טנזור, מקובל לרשום אותו בצורה $\delta _{i}^{j}$ כאשר אחד האינדקסים הוא קו-וריאנטי ואילו השני הוא קונטרה-וריאנטי.

תכונות

• סימטריה ביחס לאינדקסים: $\delta _{ij}=\delta _{ji}$
• מבצע שינוי אינדקסים: $\sum _{i}\delta _{ij}A_{i}=A_{j}$
• זהות העקבה: $\sum _{i=1}^{n}\delta _{ii}=n$

ראו גם

• טנזור לוי-צ'יויטה
• פונקציית דלתא של דיראק
• טנזור
• אלגברה ליניארית
• מטריצה
• אורתוגונליות
• לאופולד קרונקר

קישורים חיצוניים

• הדלתא של קרונקר, באתר MathWorld (באנגלית)