דלתון ריצוף

דלתון ריצוף: תכונות גאומטריות

דלתון ריצוף הוא צורה גאומטרית סימטרית, דלתון בעל זוויות בסיס ישרות, זווית ראש אחת בת 60 מעלות וזווית ראש נגדית בת 120 מעלות. הוא שווה-צלעות (Equilateral Kite), כלומר אחד מהמשולשים שווי השוקיים מהם הוא בנוי הוא גם שווה-צלעות. ניתן ליצור אותו על ידי הורדת אנכים ממרכז משולש שווה-צלעות, או ממרכז משושה משוכלל.

דלתון הריצוף מהווה אריח המאפשר ליצור ריצוף של המישור האוקלידי במספר דרכים.

אף על פי שאריחי פנרוז גם כוללים דלתון (בצירוף "עפיפון וחץ"), דלתון פנרוז שונה מזה המתואר כאן, היות שזוויות הבסיס בנות 72 מעלות ואינן ישרות.

תכונות גאומטריות

צלע גדולה = A, צלע קטנה = B.

• שטח: $(A*B)$ או $B^{2}{\sqrt {3}}$
• היקף: $2A+2B$ או $2B(1+{\sqrt {3}})$
• יחסי גודל: $A={\sqrt {3}}B$, אלכסון ראשי = 2B, אלכסון משני = A.

שלוש הרמות הראשונות של פולידלתונים

דלתוני ריצוף מחזיקים במספר תכונות המייחדות אותם מאריחים נוספים המרצפים את המישור:

• דלתון ריצוף הוא האריח הסימטרי היחיד המסוגל לרצף משולשים שווי צלעות ומשושים שווי צלעות בה בעת.
• מרובעים המסוגלים לרצף את המרחב בצורה מחזורית סימטרית (נכון לכל מרובע) וא-סימטרית, תוך הטיות של 90 מעלות בלבד (נכון למספר מצומצם של מרובעים).
• בריצוף מצולעים המורכבים מ-n דלתונים אלו (Polykites), הנושקים זה לזה צלע-לצלע, נבנית סדרה חשבונית המונה כמה מצולעים אפשריים ניתן לרצף מדלתונים אלו. מספר המצולעים גדל בקצב מעריכי - שבעת המספרים הראשונים הם 1, 2, 4, 10, 27, 85, 262, 873. הנושא נחקר על ידי ברנדן אוון (Brendan Owen). קיימות חידות קומבינטוריות שונות אודות מספר הדרכים לרצף באמצעות דלתונים אלו.

תכונות גאומטריות נוספות כוללות:

• ניתן לחלקם לכל מספר טבעי של משולשי 90-60-30, החל מזוג (חלוקה לאורך הציר הראשי). משולשים אלו אף הם אריח שימושי לריצוף.
• ניתן לחלק את צורת הדלתון ל-5 דלתונים קטנים יותר (וכך רקורסיבית על מנת להשיג מספר גדול יותר), בשיטה הבאה: חלוקת שתי הצלעות הגדולות לשלושה חלקים שווים (נקיבת 2 נקודות, א' ו-ב', על הצלעות 1 ו-2), מתיחת קו בין א1 ל-א2, מתיחת אנכים בין ב1 לאלכסון הראשי ובין ב2 לאלכסון הראשי, ושרטוט האלכסון הראשי מנקודת מפגש האנכים לעבר זווית 120 המעלות.

ריצופים באריחים זהים

ריצופים באריחי דלתון זהים יוצרים מגוון של מצולעים הקרויים Polykites, ובתבניות מסוימות מסוגלים לרצף את המישור. הסעיפים מטה מהווים דוגמאות בולטות.

ריצוף משושים-משולשים

ריצוף אחיד דואלי של דלתונים. בריצוף נוצרים משושים (מסומנים בכחול) ומשולשים (מסומנים באדום).

ריצוף רגולרי הוא ריצוף המשתמש באריחים כך שכל צלע (או פאה) מתאימה באופן מושלם לפאה של אריח חובר, וצורת האריחים משוכללת. קיימים רק שלושה ריצופים כאלו: משולשים, ריבועים ומשושים. ריצוף סמי-רגולרי או אחיד (Uniform) הוא ריצוף שבו כל פאה מתאימה לפאה אחרת, וכל הזוויות בכל מצולע שוות (כלומר, כל אחד מהמצולעים בתבנית הוא משוכלל, אך הם אינם בהכרח זהים זה לזה). כך מתאפשר שימוש בצורות משוכללות רבות. קיימים רק שמונה סוגי ריצופים כאלו.

ריצוף אחיד דואלי (Dual Uniform Tiling) פותח את הדרך למספר רב יותר של ריצופים, שכן הוא מתיר חלוקה של הצורות האחידות לצורות פנימיות חוזרות. אחד הריצופים המפורסמים משתמש באריחי דלתון. ריצוף זה, של דלתונים המורכבים בצורה מחזורית, יוצר למעשה בו זמנית ריצוף משולשים וריצוף משושים (שניהם ריצופים רגולריים ואחידים), על פי חבורת הסימטריה p6m (הצורה מוכרת כ-Deltoidal trihexagonal tiling). שלושה דלתונים מרכיבים משולש משוכלל, ושישה מרכיבים משושה משוכלל.

ריצוף מחזורי לא רגולרי

ריצוף מחזורי לא רגולרי בדלתונים

ניתן לרצף באמצעות דלתונים זהים את המישור ללא הדרשות לריצוף אחיד דואלי, על ידי ריצוף מחזורי שאינו רגולרי (הצורות אינן משוכללות וכל פאה אינה נושקת במלואה לפאה אחרת) ואינו אחיד (קודקודיו מתחלקים לשתי קבוצות: קודקודים בעלי זווית של 90 מעלות וקודקודים בעלי זווית של 60 מעלות).

הריצוף המוצג משמאל הוא דוגמה פשוטה של ריצוף כזה. ארבעת הדלתונים במרכזו יוצרים אריח החוזר ללא סיבוב לכל הכיוונים באופן מחזורי. ניתן להתייחס לשני הדלתונים התחתונים כצורה מחזורית גם כן, אך זו חוזרת לסירוגין - מותאמת לעצמה בשיקוף בלבד.

התמונה נראית כחסרת סדר מחזורי בגלל אי-תאימות בין מחזוריות צבעי הדלתונים למחזוריות התבנית. מחזוריות הצביעה היא כך שכל דלתון שונה בגוונו מכל הדלתונים הנושקים לו.

ריצוף מחזורי סימטרי

ריצוף מחזורי סימטרי בדלתונים

הדרך הפשוטה ביותר לרצף באמצעות דלתונים היא להציב את האריחים זה לצד זה, כאשר זוויות הבסיס נושקות זו לזו והאלכסונים הראשיים מקבילים.

בצורה זו נוצרת בין האריחים המרכיבים את הריצוף הדוגמה בשלמותה, במהופך. ריצוף זה מכיל חלק מהמרכיבים של ריצוף רגולרי: כל פאה נושקת במלואה לפאה אחרת; בנוסף, כל נקודות מפגשי הקודקודים זהות (אך זוויות הקודקודים עצמם אינן זהות, ולפיכך הריצוף אינו אחיד). קיימת סימטריה אנכית, וציר סיבוב של 180 מעלות.

ריצופים באריחים דומים

ניתן לרצף את המישור בדלתונים שאינם זהים בגודלם.

בריצופים אלו ראוי להגדיר מושגים למען ההדגמה: דלתון א' יקרא "בסדר-גודל אחד פחות" מדלתון ב' אם יחס הגודל בין צלעות הדלתונים הוא ${\sqrt {3}}$. כמובן שדלתון א' וב' דומים, כלומר למרות הפרשי הגודל זוויותיהם המתאימות שוות. דלתון ג' יכול להיות בשני סדרי-גודל מתחת לדלתון א' (היחס ביניהם הוא 3 בדיוק) וכך הלאה. בהתאם לכללים גאומטריים, יחס השטחים בין דלתון א' ל-ב' הוא 3.

ריצוף מלבנים ישר-אלכסוני

ריצוף ריבועים ישר-אלכסוני באמצעות דלתונים בשני גדלים

ניתן לרצף את המישור באמצעות דלתונים משני גדלים.

ארבעה דלתונים (שניים קטנים ושניים גדולים מהם בסדר גודל יחיד) מייצרים מלבן (אורכו כ-2.3, גובהו 2), וממנו אפשר כמובן לרצף את המישור. אך באמצעות הסטה של ריצוף המלבנים לריצוף לבנים (כלומר, בשורה כל פאה מתאימה לפאה במלואה, אך בטור כל הפאות מותאמות לחלקים משתי פאות שונות) ניתן להגיע לתוצאה גאומטרית מעניינת, בה ריצוף הלבנים נוצר פעמיים: פעם אופקית ופעם בזווית של 60 מעלות.

בתרשים משמאל ניתן לראות את הריצוף מובלט: השורה השנייה מלמעלה צבועה בגוונים חמים, והשורה האלכסונית צבועה בגוונים קרים. המלבנים בריצוף האלכסוני זהים במיקומם וגודלם למלבנים בריצוף האנכי, וכך מתאפשר ציר שיקוף. ניתן לראות כי כל דלתון נושק בקודקודי הראש שלו לקודקוד ראש נגדי של דלתון באותו סדר גודל, ושניהם מצויים על אותו ציר. כך נוצרות שרשראות שתי וערב המרצפות את המישור.

ריצוף זה הוא מקרה פרטי של ריצוף מבוסס מלבנים: ניתן ליצור מלבן מכל קבוצה בעלת מספר זוגי של זוגות דלתונים, שמקיימים רצף של סדרי גודל יורדים בין הזוגות. זו דוגמה לריצוף מלבנים מ-2 זוגות, דוגמה של ריצוף מלבנים המורכבים מ-4 זוגות דלתונים ניתנת מטה.

ריצוף מחזורי מתכנס

ריצוף דלתונים מחזורי מתכנס

על ידי שימוש בדלתונים בסדרי גודל הולכים וקטנים, ניתן ליצור ריצוף אינסופי מתכנס. אחת מצורות הריצוף הבסיסיות בדלתון ריצוף הוא מגן דוד חסום במגן דוד, וזוהי צורה שניתן לשכפל בתוך עצמה שוב ושוב ללא הגבלה. כל שכבה קטנה בסדר-גודל יחיד מזו שמסביבה, וגדולה בסדר גודל יחיד מזו שבתוכה. צורת ריצוף זו אינסופית לשני הכיוונים: ניתן לרצף עד אינסוף לתוך הכוכב (${\frac {1}{\sqrt {3}}}$ קטן מ-1, ולכן הטור מתכנס) וכמובן שניתן לרצף עד אינסוף על ידי אריחים גדלים והולכים.

ריצוף זה לבדו אינו נחשב כריצוף של המישור, היות שתמיד יהיה בו "חור" במרכזו. אך באמצעות שלושה דלתונים ותשעה דלתונים הקטנים מהראשונים בשני סדרי-גודל, ניתן ליצור ריצוף של מגן דוד - וכך בכל גודל נתון "לאטום" את החור וליצור ריצוף מלא.

ריצוף מחזורי מתכנס נוסף הוא ריצוף ריבועים: ארבעה דלתונים מאותו סדר גודל יכולים ליצור ריבוע שכל אחת מצלעותיו בגודל $1+{\sqrt {3}}$, ובאמצעו חור בצורת ריבוע המוטה על צידו. צורה זו כמובן ניתנת לשחזור שוב ושוב באופן דומה. עם זאת, לא ניתן "לאטום" את החור במרכז באמצעות הדלתונים, ולפיכך זהו אינו ריצוף מלא של המישור.

ריצוף עצמי

חמישה דלתונים מרכיבים דלתון

דלתון ריצוף מחזיק בתכונה נוספת: ניתן לרצפו רקורסיבית באמצעות דלתונים מסדר-גודל קטן יותר. כפי שרואים בשרטוט משמאל, באמצעות שני דלתונים ושלושה הקטנים משני אלו בסדר-גודל בודד, נוצר ריצוף מלא של צורת הדלתון. הדלתון המרוצף יהיה בסדר-גודל אחד מעל לשני הדלתונים הגדולים, ושני סדרי-גודל מעל שלושת הקטנים.

דבר זה מאפשר ליצור דלתוני ריצוף בכל סדר-גודל יחסי תוך שימוש בשני סוגי אריחים בלבד. זה בתורו מוכיח כי כל ריצוף מישור בדלתונים גדלים והולכים (למשל ריצופים מחזוריים מתכנסים, המשתמשים במערכת של אריחים בסדרי גודל עולים) דורש דלתונים בשני סדרי גודל בלבד (הקטנים ביותר שנדרשים בריצוף). בתרשים המצורף, כל אחד משני הדלתונים הגדולים שווה בשטחו לשלושת הדלתונים הקטנים.

בדוגמה המופיעה מטה נראה שוב ריצוף מחזורי מתכנס של מגן דוד, המסתמך על חלוקה רקורסיבית של כל דלתון (בכל גודל) עד לחלקיו הקטנים ביותר. הדבר מדגים את קלות הביצוע: כל דלתון שגדול מאחד משני האריחים בהם משתמשים מחולק לפי התבנית. אם חלקיו (כולם או רק חלקם) עדיין גדולים מדי, הם יחולקו שוב ושוב.

בחלק מהריצופים המתכנסים התוצאה מחזורית, ובחלקן (כמו דוגמת מגן דוד, בה אריחים מסוימים בתבנית צבועים בצהוב) התבנית הנוצרת אינה מחזורית, ומשתנה ככל שהפסיפס מתרחב. תמונה נוספת מציגה שני אריחים שנצבעו באדום, על מנת להראות כי הסימטריה של התבנית המקורית טרם החלוקה נשמרה.

ריצופים נוספים

• 
  ריצוף קישוטי בדלתוני ריצוף, דמוי פתית שלג
• 
  פאון קמור רגולרי, שכל צלעותיו דלתונים חופפים
• 
  ריצוף מחזורי מתכנס (מגן דוד) בשימוש באריחים בשני גדלים בלבד
• 
  אותו ריצוף מחזורי, בצביעת זוג אריחים באדום. הדוגמה חוזרת וגדלה, ללא שינוי בגודל האריחים
• 
  ריצוף מבוסס מלבנים, המורכבים כל אחד מ-4 זוגות דלתונים בסדרי גודל סמוכים
• 
  אותו ריצוף, תוך שימוש בשני הדלתונים הקטנים (הלבן והאדום) בלבד

ראו גם

• ריצוף של המישור

קישורים חיצוניים

• דלתון ריצוף, באתר MathWorld (באנגלית)