אלגברת אזומיה

בתורת החוגים, אלגברת אָזוּמַיָה מעל חוג קומוטטיבי $C$ היא מודול נאמן פרויקטיבי נוצר סופית $A$, שעבורו ההעתקה הטבעית $A\otimes _{C}A^{\operatorname {op} }\rightarrow \operatorname {End} _{C}(A)$ היא איזומורפיזם. בפרט, כל אלגברת אזומיה היא ספרבילית, ובשל כך נקראו אלגברות אלה בעבר 'אלגברות ספרביליות מרכזיות'.

אם חוג הבסיס $C$ הוא שדה, אלגברות אזומיה אינן אלא אלגברות פשוטות מרכזיות. הן מהוות, אם כך, הכללה של מושג יסודי זה באופן המאפשר את המניפולציות הסטנדרטיות של מעבר לחוג מנה וכדומה.

המושג הוצג לראשונה על ידי המתמטיקאי היפני גורו אזומיה במאמר מ-1951.

מבוא

כל חוג $A$ פועל על עצמו על ידי כפל משמאל: $a\mapsto \ell _{a}$ היא הומומורפיזם של חוגים $A\rightarrow \operatorname {End} (A)$, כאשר $\ell _{a}:x\mapsto ax$. עובדה זו נכונה גם כשרואים בחוג אלגברה מעל חוג קומוטטיבי $C$. באותה עת, האלגברה המנוגדת $A^{\operatorname {op} }$ פועלת על $A$ על ידי כפל מימין, באופן המגדיר הומומורפיזם טבעי מן המכפלה הטנזורית לחוג האנדומורפיזמים, $A\otimes _{C}A^{\operatorname {op} }\rightarrow \operatorname {End} _{C}(A)$, לפי $(a\otimes b)(x)=axb$. באופן כללי ההומומורפיזם הזה אינו חד-חד-ערכי (למשל, אם $A$ קומוטטיבי ומכיל ממש את $C$, אז הטנזורים $1\otimes a,\,a\otimes 1$ שונים זה מזה אבל פעולתם זהה), וגם אינו על (יש הומומורפיזמים שלא ניתן לממש כצירוף של פעולות כפל מימין ומשמאל). התכונה העיקרית של אלגברות אזומיה היא שעבורן האלגברה מתארת את הפעולות על עצמה באופן מלא.

פונקציית הדרגה

מכיוון ש-$C$ קומוטטיבי, חוג המנה $C/P$ הוא תחום שלמות לכל אידיאל ראשוני $P$ של $C$, ויש לו שדה שברים $q(C/P)$. לכל אלגברה $A$ שהיא מודול סופי מעל $C$, הרחבת הסקלרים $A\otimes _{C}q(C/P)$ היא אלגברה מעל שדה, שיש לה כמובן ממד, שהוא "הדרגה של $A$ ב-$P$".

בכל אלגברת אזומיה, הדרגה קבועה על מרכיבי הקשירות של הספקטרום של $C$, והאלגברות $A\otimes _{C}q(C/P)$ כולן פשוטות מרכזיות, מממד סופי. בפרט, כל המנות $A/MA$, עבור האידיאלים המקסימליים $M$ של $C$, הן אלגברות פשוטות מרכזיות (הרי אם $M$ אידיאל מקסימלי חוג המנה $C/M$ הוא שדה, ו-$A\otimes _{C}C/M=A/MA$). ההנחה האחרונה כמעט מספיקה לאפיון אלגברות אזומיה: אם כל המנות $A/MA$ הן אלגברות פשוטות מרכזיות, והדרגה קבועה, אז $A$ אזומיה (נעיר שהספקטרום קשיר אם ורק אם אין ב-$C$ אידמפוטנטים, ובמקרה כזה הדרגה הקבועה וההתנהגות מעל האידיאלים המקסימליים שקולים לתכונת אזומיה).

תכונות בסיסיות

אם $A$ אזומיה מעל $C$, אז $C$ שווה למרכז של $A$. כל אלגברת מנה של אלגברת אזומיה היא אזומיה. כל הרחבת סקלרים (בחוג קומוטטיבי) היא אלגברת אזומיה. המכפלה הטנזורית של שתי אלגברות אזומיה מעל אותו חוג היא אלגברת אזומיה.

לכל אידיאל $J$ של אלגברת אזומיה $A$ מעל $C$ מתקיים $J=(J\cap C)A$, ולכן יש התאמה מושלמת בין האידיאלים של האלגברה לבין האידיאלים של המרכז, לפי $I\mapsto IA,\,J\cap C\leftarrowtail J$.

אלגברות אזומיה מקיימות את תכונת המרכֵּז הכפול: תהי $A$ אלגברת אזומיה מעל $C$, שהיא תת-אלגברה של אלגברה $B$ כלשהי. אז $A\otimes C_{B}(A)\cong B$. אם, בנוסף לזה, $B$ היא אלגברת אזומיה, אז $C_{B}(C_{B}(A))=A$.

כל הומומורפיזם של אלגברות אזומיה מעל (אותו חוג) $C$ הוא שיכון, ואם יש לאלגברות אותה דרגה (בכל מרכיב קשירות של הספקטרום), אז זהו איזומורפיזם.

אם כל מודול פרויקטיבי מדרגה 1 מעל $C$ הוא חופשי (תכונה זו מתקיימת כמובן אם $C$ הוא שדה), אז אלגברות אזומיה מקיימות את משפט סקולם-נתר: כל אוטומורפיזם של $A$ הוא פנימי (כלומר, הצמדה באיבר הפיך).

משפט ארטין-פרוצ'סי מאפיין אלגברות אזומיה בשפת הזהויות הפולינומיות: חוג $R$ הוא אזומיה, אם ורק אם הוא מקיים את כל הזהויות שמקיים חוג המטריצות $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {Z} )$, ואף תמונה הומומורפית שלו אינה מקיימת את כל הזהויות שמקיים חוג המטריצות $\operatorname {M} _{n-1}(\mathbb {Z} )$.

חבורת בראוור

כל אלגברת מטריצות מעל $C$ היא אלגברת אזומיה. באופן כללי מעט יותר, אם $P$ מודול פרויקטיבי נאמן מעל $C$, אז $\operatorname {End} _{C}(P)$ היא אלגברת אזומיה. כדי להפטר מן הדוגמאות הטריוויאליות האלה, מגדירים יחס שקילות בין אלגברות אזומיה מעל $C$: האלגברות $A$ ו-$B$ דומות אם יש מודולים פרויקטיביים $P$ ו-$Q$ כך ש-$A\otimes \operatorname {End} _{C}(P)\cong B\otimes \operatorname {End} _{C}(Q)$. המכפלה הטנזורית מוגדרת היטב על מחלקות השקילות של היחס הזה, ומאפשרת להגדיר את חבורת בראוור $\operatorname {Br} (C)$ של $C$ כאוסף מחלקות השקילות, עם הכפל שהוא המכפלה הטנזורית. המחלקה של $C$ היא איבר היחידה של המונויד המתקבל. מכיוון ש-$A\otimes A^{\operatorname {op} }$ טריוויאלי לפי ההגדרה, האלגברה המנוגדת היא ההפכית של $A$, ולכן חבורת בראוור היא חבורה, כמתחייב משמה, והיא אבלית, ואפילו מפותלת.

ההתאמה $C\mapsto \operatorname {Br} (C)$ היא פונקטור קווריאנטי. בפרט, אם $C\subseteq C'$ הרחבה של חוגים קומוטטיביים, אז העתקת הצמצום $[A]\mapsto [A\otimes _{C}C']$ היא הומומורפיזם $\operatorname {res} _{C'/C}:\operatorname {Br} (C)\mapsto \operatorname {Br} (C')$. הצמצום קשור למְרכְּזים באופן הבא: אם $A$ אלגברת אזומיה מעל $C$, ו-$K$ תת-חוג קומוטטיבי של $A$ (שהוא אלגברה מעל $C$), כך ש-$A$ פרויקטיבי מעל $K$, אז המרכז $C_{A}(K)$ אזומיה מעל $K$, ו-$A\otimes _{C}K\sim C_{A}(K)$.

אם $C'$ היא אלגברה ספרבילית מעל $C$ שהיא פרויקטיבית מדרגה קבועה $n$, אז אפשר להגדיר העתקה בכיוון ההפוך, $\operatorname {cor} _{C'/C}:\operatorname {Br} (C')\mapsto \operatorname {Br} (C)$, וההרכבה $\operatorname {cor} _{C'/C}\circ \operatorname {res} _{C'/C}$ (בסדר זה דווקא) אינה אלא פעולת הכפל ב-$n$.

חבורת בראוור של תחום הערכה בדידה שלם $R$ שווה לזו של שדה השאריות.

אלגבראות אזומיה נגזרות

במאמר פורץ דרך מ-2010, הציע טואן הכללה נגזרת של המושג אלגברת אזומיה. בהינתן חוג קומוטטיבי סימפליצאלי $A$, ואלגברה דיפרנציאלית מדורגת $B$ מעל $A$, אומרים כי $B$ היא אלגברת אזומיה נגזרת מעל $A$ אם מתקיימים שני התנאים:

• כאיבר של הקטגוריה הנגזרת $D(A)$, מתקיים כי $B$ הוא יוצר קומפקטי של $D(A)$.
• ההעתקה הטבעית $B\otimes _{A}^{L}B\to RHom_{A}(B,B)$ ב-$D(A)$ היא איזומורפיזם.