אי-שוויון התמורות

אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.

אם נתונות שתי N-יות סדורות $a,b$ בעלות $n$ איברים, כך שאיברי $a$ מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$) ו-$b$ בסדר מסוים (נסמן אותם $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$), אז הביטוי $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$ מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי $b$ מסודרים מהקטן לגדול. ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.

הוכחה

טענת עזר: אם $a_{1}<a_{2},b_{1}<b_{2}$, אז $a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}<a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$.
הוכחה: ביטוי שקול הוא $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}-a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}>0$ או $(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})>0$. כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.

הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על $b$ ונחשב את הביטוי. נשים לב שאם קיימים שני מספרים $i>j$ עבורם $b_{i}<b_{j}$, אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר). נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי $b$ מסודרים לפי הסדר. כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי $b$ מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו. כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי $b$ מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.

ההוכחה שכאשר איברי $b$ מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.