אוריינטציה יחסית

בטופולוגיה, אוריינטציה יחסית היא גרסה של מושג האוריינטציה שניתן להגדיר עבור העתקות מסוימות בין יריעות (ולפעמים אף מרחבים טופולוגיים). האוריינטציה היחסית מודדת, אינטואיטיבית, את מה שחסר לבניית אוריינטציה על $M$ בהינתן אוריינטציה על $N$ והעתקה $\phi :M\to N$.

את האוריינטציה היחסית של העתקה חלקה $\phi :M\to N$ בין יריעות חלקות אפשר להגדיר בשני מקרים:

• $\phi$ היא אימרסיה (immersion)
• $\phi$ היא סובמרסיה (submersion)

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:

$$orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad {\mathcal {O}}rient_{M/N},\quad \Omega _{M/N}$$

כל אלה יהיו אובייקטים מעל $.M$

לכל אחד מהמקרים למעלה יש גרסה כללית יותר שכוללת העתקות בין יריעות ללא מבנה חלק ואף העתקות בין מרחבים טופולוגיים. גם במקרים אלו ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית.

המקרה החלק

המקרה של אימרסיה

העתקה חלקה $\phi :M\to N$ נקראת אימרסיה (או הטבעה) אם הדיפרנציאל $d_{x}\phi$ שלה בכל $x\in M$ הוא חד-חד-ערכי. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל $x\in M$ קיימת סביבה פתוחה $U\subset M$ כך ש $\phi (U)$ היא תת-יריעה סגורה מקומית (Locally closed) והצמצום (Restriction) $\phi |_{U}:U\to \phi (U)$ הוא דיפאומורפיזם.

במקרה כזה ניתן להגדיר את האגד הנורמלי (Normal bundle) $Norm_{M}^{N}$ ל$M$ בתוך $N$ ע"י $Norm_{M}^{N}:=\phi ^{*}(T(N))/Im(d\phi )$ כאשר אנו מתייחסים לדיפרנציאל $d\phi$ בתור העתקה מהאגד המשיק $T(N)$ למשיכה לאחור (Pullback bundle) $\phi ^{*}(T(N))$ של האגד המשיק $.T(N)$

הגדרה: אוריינטציה יחסית על $M$ (ביחס ל$N$) היא אוריינטציה על האגד הנורמלי $.Norm_{M}^{N}$

המקרה של סובמרסיה

העתקה חלקה $\phi :M\to N$ נקראת סובמרסיה אם הדיפרנציאל $d_{x}\phi :T_{x}(M)\to T_{p(x)}M$ שלה בכל $x\in M$ הוא על. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל $x\in M$ קיימת סביבה פתוחה $U\subset M$ כך ש $\phi (U)$ היא קבוצה פתוחה והצמצום $\phi |_{U}:U\to \phi (U)$ ניתן לפירוק $p\circ i$ כאשר

• $i:U\to \phi (U)\times \mathbb {R} ^{\dim M-\dim N}$ הוא דיפאומורפיזם ו
• $p:\phi (U)\times \mathbb {R} ^{\dim M-\dim N}\to \phi (U)$ היא ההטלה.

במקרה כזה נתבונן בגרעין $\ker(d\phi )$ בתור תת-אגד של $.T(M)$

הגדרה: אוריינטציה יחסית על $M$ (ביחס ל$N$) היא אוריינטציה על האגד $.\ker(d\phi )$

המקרה הכללי

ערך מורחב – אוריינטציה על יריעה טופולוגית

תהי $\phi :X\to Y$ העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים. באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים $orient_{X/Y},Orient_{X/Y},{\mathcal {O}}rient_{X/Y}$) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:

האנלוג של אימרסיה:	לכל $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה $U\subset M$ ומספר טבעי $k$ כך ש $\phi (U)$ היא תת-קבוצה סגורה מקומית (Locally closed subset) והצמצום $\phi |_{U}:U\to Y$ ניתן לפירוק $h\circ i$ כאשר $i:U\to U\times \mathbb {R} ^{k}$ הוא השיכון הסטנדרטי ו$h:U\times \mathbb {R} ^{k}\to Y$ הוא הומיאומורפיזם לתמונה.
האנלוג של סובמרסיה:	לכל $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה $U\subset X$ ומספר טבעי $k$ כך ש $\phi (U)$ היא קבוצה פתוחה והצמצום $\phi |_{U}:U\to \phi (U)$ ניתן לפירוק $p\circ h$ כאשר $h:U\to \phi (U)\times \mathbb {R} ^{k}$ הוא הומיאומורפיזם ו $p:\phi (U)\times \mathbb {R} ^{k}\to \phi (U)$ הוא ההטלה.

נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים $X,Y$ אינם יריעות.

קשר בין אוריינטציה יחסית ואוריינטציה

בהינתן אוריינטציה על $N$ ואוריינטציה יחסית על $M$ ניתן להגדיר אוריינטציה על $.M$ התאמה זאת לוקלית, כך שניתן להגדיר איזומורפיזם

$$\phi ^{*}({\mathcal {O}}rient_{N})\otimes {\mathcal {O}}rient_{M/N}\cong {\mathcal {O}}rient_{M},$$

ובאופן דומה גם איזומורפיזמים

$\phi ^{*}(Orient_{N})\otimes Orient_{M/N}\cong Orient_{M},\,\phi ^{*}(\Omega _{N})\otimes \Omega _{M/N}\cong \Omega _{M},\,\phi ^{*}(D_{N})\otimes D_{M/N}\cong D_{M}$

במקרה החלק כל האיזומורפיזמים האלה מבוססים על ההבחנה הבאה: בהינתן סדרה מדויקת קצרה של מרחבים ליניאריים

$0\to V\to W\to L\to 0.$

קיים איזומורפיזם טבעי

$$\Omega ^{top}(L)\otimes \Omega ^{top}(V)\cong \Omega ^{top}(W).$$

הערה: האיזומורפיזמים האלה מכלילים את מושג האוריינטציה המושרית על היפר-משטח. לכן כמוהו הם תלויים במוסכמות סימן. מוסכמות אלו מורכבות יותר מאשר במקרה של היפר-משטח ואין להן גרסה מקובלת יחידה. מצב זה גורם לעיתים לבלבולים וטעויות. מטבע הדברים טעויות אלו הן טעויות סימן, ולכן בדרך כלל אינן משמעותיות.