שקילות מוריטה

באלגברה מופשטת, שני חוגים נקראים שקולים מוריטה (Morita equivalent) אם קיימת שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם.

המונח נקרא על שם המתמטיקאי היפני מוריטה קייצ'י, שעסק באלגברה וטופולוגיה. לשקילות מוריטה מספר אפיונים חשובים, ובמובן מסוים היא מכלילה את הקשר שבין חוג אל חוג המטריצות מעליו, ולא באופן מרחיק לכת.

הגדרה

שתי קטגוריות ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}$ נקראות שקולות אם קיימת ביניהן שקילות קטגורית, כלומר קיימים פונקטורים $F:{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {B}}$ ו- $G:{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {A}}$ כך ש-$F\circ G$ ו-$G\circ F$ איזומורפיות באופן טבעי אל העתקות הזהות, כלומר קיימות העתקות טבעיות $G\circ F\to I_{\mathfrak {A}}$ ו-$F\circ G\to I_{\mathfrak {B}}$.

בהינתן חוג (אסוציאטיבי עם יחידה) $R$, נסמן ב-$\operatorname {R-Mod}$ את הקטגוריה של המודולים הימניים מעל $R$. נאמר ששני חוגים $R$ ו-$S$ הם שקולים מוריטה אם קיימת שקילות קטגורית בין $\operatorname {R-Mod}$ ל-$\operatorname {S-Mod}$.

קל לראות כי מדובר בשקילות בין חוגים (כלומר, התאמה המקיימת רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות), המכונה שקילות מוריטה.

יחס מוריטה הוא יחס של שקילות בין חוגים, ולכן אפשר לדבר על תכונות של חוגים הנשמרות תחת היחס, כלומר: האם תכונה מסוימת של חוג נשמרת גם לאחר מעבר לחוג השקול אליו מוריטה? תכונות כאלה נקראות אינווראינטיות תחת יחס מוריטה.

מבנה

שני חוגים איזומורפיים ודאי שקולים מוריטה, וההפך נכון בחוגים קומוטטיביים. בחוגים לא קומוטטיביים מתקבל מינוח כללי יותר; כך למשל, כל חוג מטריצות מעל חוג נתון שקול מוריטה לחוג המקורי, ולכן כל שני חוגי מטריצות מעל אותו החוג הם שקולים מוריטה. דוגמה ראשונית זו היא אבן הפינה במונח של שקילות מוריטה, ורבות מטכניקות ההוכחה עוברות לתאוריה הכללית.

היות שעצם ההגדרה היא בשקילות קטגורית, כל תכונה שניתן להגדיר אך ורק בתוך הקטגוריה של המודולים הימניים (כלומר אך ורק על ידי אובייקטים ומורפיזמים, וללא התייחסות מפורשת אל חוג הבסיס) תעבור מחוג אל חוג השקול אליו מוריטה. כך למשל, אינג'קטיביות, פרויקטיביות, פשיטות למחצה, ארטיניות, נתריות, נוצר סופית (אך לא מספר היוצרים), כולן נשמרות.

מאידך, מספר תכונות בבירור אינן נשמרות על ידי יחס מוריטה - קומוטטיביות, מקומיות, חילוק, תחום, גולדיות.

שקילות מוריטה ומודולים יוצרים

לשקילות מוריטה קשר הדוק למודולים יוצרים (generators) ומודולים פרו-יוצרים (progenerators). מודול יוצר הוא מודול שאידיאל העקבה שלו שווה לחוג כולו. מודול פרו-יוצר הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית. את קטגוריית המודולים הפרו-יוצרים נסמן ב-${\mathfrak {P}}_{R}$.

הקשר המבני

כעת נתאר את הקשר בין מודולים פרו-יוצרים אל שקילות מוריטה, המכונות משפטי מוריטה.

לכל מודול פרו-יוצר ניתן להגדיר morita context (ראו בלקריאה נוספת לפרטים מלאים). קיומו של morita context משרה שקילות מוריטה בין החוג $R$ אל החוג $S=\operatorname {End} _{R}(P)$. גם ההפך נכון - כל חוג $S$ השקול מוריטה ל- $R$ הוא חוג אנדומורפיזמים מעל $R$-מודול ימני פרו-יוצר כלשהו - כלומר, ניתן לבנות morita context בהינתן שקילות קטגורית בין המודולים הימניים. הרכבה של שקלויות קטגוריות מתאימה באופן מלא אל מכפלה טנזורית של המודולים הפרו-יוצרים המתאימים.

תכונות נוספות

כלל הביטול (cancellation law) בקטגוריה של מודולים ${\mathfrak {A}}$ הוא הדרישה שלכל $P\in {\mathfrak {A}}$ יתקיים שאם $P^{n}\cong P^{n'}$ אז $n=n'$.

משפט: עבור שני חוגים $R,S$ שקולים מוריטה, כלל הביטול ב-${\mathfrak {P}}_{R}$ שקול אל כלל הביטול ב-${\mathfrak {P}}_{S}$.

לאור משפט זה, אפשר לאפיין חוגי מטריצות שנקבעים על ידי חוג הבסיס - עבור חוג $R$, הבאים שקולים:

1. כל חוג $S$ השקול מוריטה אל $R$ קובע את חוג המקדמים בחוג מטריצות (כלומר, לכל $S'$ כך ש-$M_{n}(S)\cong M_{n}(S')$ נובע $S\cong S'$).
2. המחלקה ${\mathfrak {P}}_{R}$ מקיימת ביטול חלש (weak-cancellation) - כלומר אם $P^{n}\cong P'^{n}$ אז $\operatorname {End} _{R}(P)\cong \operatorname {End} _{R}(P')$.

כמסקנה מתוצאה זו, מקבלים שכל חוג $R$ מקומי-למחצה (כלומר כזה ש-$R/\operatorname {rad} (R)$ פשוט למחצה (למשל חוג ארטיני ימני)) קובע את חוג הבסיס בחוגי מטריצות מעליו.

תכונות נוספות

עד כה דובר על שקילות בין המודולים הימניים, אך למעשה שקילות בין המודולים הימניים שקולה לשקילות בין המודולים השמאליים.

ניתן לתאר את המבנה של שני חוגים שקולים מוריטה באופן מפורש עוד יותר - אם $R,S$ שקולים מוריטה, אז $S\cong eM_{n}(R)e$ עבור אידמפוטנט שלם $e$ (כלומר כך ש- $M_{n}(R)eM_{n}(R)=M_{n}(R)$).

כמסקנה מטענה זו, תכונה של חוגים היא אינווריאנטית תחת יחס מוריטה אם ורק אם כאשר $R$ מקיים את התכונה, כך גם כל חוג מטריצות מעליו, וגם כל חוג מהצורה $eRe$ לכל אידמפוטנט שלם $e$.

בנוסף, אם $R,S$ שקולים מוריטה, אז המרכזים שלהם איזומורפיים. לכן, במקרה של חוגים קומוטטיביים, המונח לא מחדש כלום (כאמור לעיל). המרכז הוא אינווריאנט מוריטה, ויותר מכך: את המרכז של $R$ ניתן לקבוע בעזרת הקטגוריה של המודולים הימניים מעל $R$.

בתורת K, שקילות מוריטה בין חוגים משרה שקילות על מחלקות המודולים הפרויקטיביים, ולכן לחוגים שקולים מוריטה יש חבורות K איזומורפיות.

שמורות מוריטה

התכונות הבאות נשמרות תחת שקילות מוריטה:

• ראשוניות
• ראשוניות למחצה
• פרימיטיביות
• פרימיטיביות למחצה
• פשטות
• נותריות (ימנית או שמאלית)
• ארטיניות (ימנית או שמאלית)
• נוצרות סופית ומוצגות סופית

לקריאה נוספת

• Lectures on Modules and Rings, T. Lam, p.459-501