שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר $U_{n}$. בפרט, ממד ההרחבה הוא $\phi (n)$, כאשר $\phi$ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של $\zeta _{n}$ הוא הפולינום הציקלוטומי $\Phi _{n}$.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם

${\begin{aligned}\mathbb {Q} [\zeta _{1}]=\mathbb {Q} [\zeta _{2}]=\mathbb {Q} \\\mathbb {Q} [\zeta _{3}]=\mathbb {Q} [\zeta _{6}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\\\mathbb {Q} [\zeta _{4}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]\\\mathbb {Q} [\zeta _{5}]=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {\frac {-5-{\sqrt {5}}}{2}}}\right]\\\mathbb {Q} [\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}}]\end{aligned}}$

מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם $m,n$ זרים, אז $\mathbb {Q} [\zeta _{mn}]=\mathbb {Q} [\zeta _{n},\zeta _{m}]$. למשל $\mathbb {Q} [\zeta _{24}]=\mathbb {Q} [\zeta _{3},\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$.

את המצולע המשוכלל בעל $n$ צלעות אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם $\phi (n)$ הוא חזקה של שתיים; דבר זה קורה אם ורק אם $n$ הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה,

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {{\dfrac {{\sqrt {17}}-1}{2}}+{\sqrt {\dfrac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}+{\sqrt {(3+{\sqrt {17}})\left({\sqrt {17}}-{\sqrt {\dfrac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}\right)}}}{8}}$

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני $p$, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$. הדיסקרימיננטה של ההרחבה $\mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q}$ היא $(-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}$, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- ${\sqrt {5}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{5}]$, ובדומה לזה ${\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{7}]$). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית $K$ של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי $\mathbb {Q} [\zeta _{m}]$. הסדר $m$ המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה $\mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q}$ הוא $p$; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: $\langle p\rangle =\langle 1-\zeta _{p}\rangle ^{p-1}$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
• שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)