קבוצה פתוחה

בטופולוגיה ובענפים אחרים הקרובים לה במתמטיקה, קבוצה $U$ נקראת קבוצה פתוחה אם לכל נקודה בקבוצה קיים $r>0$ כך שכל הנקודות במרחב שמרחקן מהנקודה הוא לכל היותר $r$ - שייכות גם כן ל־$U$.

לדוגמה, ניתן להתבונן בקטע הפתוח $(0,1)$ המכיל את כל המספרים הממשיים שבין $0$ ל-$1$. מכיוון שכל נקודה בקטע זה שונה מ-$0$ ומ-$1$, המרחק מכל נקודה לקצה הוא חיובי - ולכן קיימת לנקודה סביבה שכולה מוכלת בקטע. באופן אינטואיטיבי, לכל נקודה בקטע ניתן לזוז מעט בכל כיוון על הישר מבלי להגיע לשפתו, לכן הקטע הפתוח $(0,1)$ מהווה קבוצה פתוחה. לעומת זאת הקטע $(0,1]$ אינו פתוח, כי לנקודה $1$ אין סביבה בשום גודל שכולה מוכלת בקטע (אם ניקח את $x=1$ ונזוז אפילו מעט בכיוון החיובי, נימצא מחוץ לקטע הנתון).

הגדרות

המושג 'קבוצה פתוחה' ניתן להבעה פורמלית ברמות שונות של הכללה.

באנליזה מתמטית, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה־$n$ ממדי, קבוצה $U$ היא פתוחה אם לכל נקודה $x$ השייכת לה קיים $r>0$ כך שכל הנקודות במרחב שמרחקן מ־$x$ הוא לכל היותר $r$ שייכות גם כן ל־$U$.

כאשר עוסקים במרחבים מטריים ניתן להכליל את ההגדרה כך: קבוצה $U$ היא פתוחה אם לכל $x\in U$ קיים כדור פתוח $B(x,r)$ שמרכזו $x$ ורדיוסו $r$ כך ש־$B\left(x,r\right)\subseteq U$.

ניתן גם להגדיר קבוצה פתוחה בעזרת שימוש במושג הפנים: קבוצה פתוחה היא קבוצה ששווה לפנים שלה.

במרחב טופולוגי כללי לא קיים מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות פתוחות באמצעותו. הקבוצה הפתוחה מהווה מושג יסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב. מתוך כל הקבוצות החלקיות במרחב, בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות, שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות פתוחות במובן המטרי). הקבוצות במשפחה זו נקראות קבוצות פתוחות ולמשפחה קוראים טופולוגיה. בכך מהווה השימוש בקבוצות פתוחות בטופולוגיה הכללה של השימוש בקבוצות הפתוחות במרחבים מטריים.

תכונות

• הקבוצה הריקה והישר כולו הן קבוצות פתוחות (נשים לב כי הן גם קבוצות סגורות);
• האיחוד - הן הסופי והן האינסופי - של קבוצות פתוחות מהווה קבוצה פתוחה;
• החיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח, אבל זה לא תמיד נכון עבור חיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות (ראו דוגמה בהערות);
• המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה.

הערות

החיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות לא בהכרח קבוצה פתוחה. לדוגמה, החיתוך האינסופי של הקטעים הפתוחים: $\left(1-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right)$ בממשיים הוא $\{1\}$, וזוהי קבוצה לא פתוחה עם המטריקה הרגילה.

נשים לב ש'פתיחות' קבוצה מסוימת תלויה במרחב בו היא מוגדרת. למשל, אם $U$ מוגדרת כקבוצת המספרים הרציונליים בקטע $(0,1)$ אז $U$ פתוחה בקבוצת המספרים הרציונליים (דהיינו, בטופולוגיה המושרית עליהם מהטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים). זאת מכיוון שבמקרה זה אין מספרים אי רציונליים אליהם אנו יכולים לזוז ולכן התזוזה הקטנה ביותר האפשרית היא ממספר רציונלי אחד למשנהו (שכידוע יכולה להיות קטנה כרצוננו). בנוסף, לא משנה עד כמה איבר של $U$ קרוב ל-$0$ או ל-$1$ תמיד קיים מספר רציונלי בין האיבר ל-$0$ או ל-$1$ אליו ניתן לזוז מבלי לצאת מ-$U$. כאשר מתייחסים לקבוצה כתת-קבוצה של המספרים הממשיים הקבוצה אינה פתוחה. זאת מכיוון שבין כל שני מספרים רציונליים נמצאים אינסוף מספרים אי רציונליים לא ניתן לזוז מאיבר ב-$U$ אפילו מעט לאחד הכיוונים מבלי לעבור במספרים אי רציונליים (שאינם שייכים ל-$U$).

בנוסף נשים לב כי ישנן קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות: דהיינו פתיחות וסגירות של קבוצה הן לא דבר והיפוכו. ב-$\mathbb {R}$ ובמרחבים קשירים אחרים רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הם גם סגורים וגם פתוחים. ברציונליים למשל, קבוצת כל המספרים הרציונליים הקטנים מהשורש הריבועי של שתיים היא גם פתוחה וגם סגורה.

כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא פתוחה ולא סגורה (למשל $(0,1]$ בישר הממשי).

ראו גם

• קבוצה סגורה
• סביבה
• קבוצה כמעט פתוחה

קישורים חיצוניים

• קבוצה פתוחה, באתר MathWorld (באנגלית)