צפיפות מטען

צפיפות המטען הקווית, המשטחית או הנפחית היא גודל פיזיקלי המציין את כמות המטען החשמלי ליחידת אורך, שטח או נפח, בהתאמה. במערכת היחידות הבינלאומית SI צפיפות המטען נמדדת ביחידות של קולון למטר (C/m), למטר רבוע (C/m²) או למטר מעוקב (C/m³), בהתאמה. צפיפות המטען כמו כל צפיפות יכולה להיות תלויה במיקום. מאחר שקיימים מטענים חיוביים ושליליים, גם צפיפות המטען יכולה לקבל ערכים חיוביים, שליליים או אפס. יש להבדיל צפיפות זו מצפיפות נושאי המטען.

צפיפות מטען קלאסית

מטען רציף

האינטגרל של צפיפות המטען $\lambda _{q}(\mathbf {r} )$, $\sigma _{q}(\mathbf {r} )$, $\rho _{q}(\mathbf {r} )$ על פני קו $l$, משטח $S$ או נפח $V$ שווה לסך המטען $Q$ באותו אזור. בהתאמה:

$Q=\int \limits _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )dl$, $Q=\int \limits _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )dS$, $Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )dV$

צפיפות מטען אחידה

במקרה המיוחד בו צפיפות המטען מפולגת באופן הומוגני, כלומר בלתי תלויה במיקום ושווה ל-$\rho _{q,0}$, המשוואה מצטמצמת ל- $Q=V\cdot \rho _{q,0}$, במקרה של צפיפות מטען נפחית. במקרים של צפיפות מטען משטחית או קווית מתקבלות תוצאות דומות בהתאמה.

מטען בדיד

אם המטען באזור מסוים מכיל $N$ נושאי מטען נקודתיים כמו אלקטרונים, ניתן לבטא את צפיפות המטען בעזרת פונקציית הדלתא של דיראק. לדוגמה, צפיפות המטען הנפחית:

$\rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\cdot \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

כאשר $q_{i}$ הוא המטען ו-$\mathbf {r} _{i}$ הוא המיקום של נושא המטען ה-$i$. גם כאן במקרים של צפיפות מטען משטחית או קווית מתקבלות תוצאות דומות.

צפיפות מטען קוונטית

במכניקת הקוונטים, צפיפות מטען קשורה לפונקציית גל $\psi (\mathbf {r} )$ דרך המשוואה: $\rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}$

כאשר פונקציית הגל מנורמלת על ידי: $Q=q\cdot \int |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d\mathbf {r}$

יישום

צפיפות המטען מופיעה בחוק גאוס ובמשוואת הרציפות לזרם חשמלי.

ראו גם

• מטען מרחבי
• פונקציית צפיפות