פונקציית רווחה חברתית

בתורת המשחקים השיתופיים, פונקציית רווחה חברתית היא פונקציה שנותנת דירוג של מועמדים בהסתמך על יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית.

סימונים והגדרות

במשחקים שיתופיים, התחום העוסק בבחירה חברתית מתאר סיטואציות בהן קבוצת אנשים צריכה לבחור אדם אחד מוסכם. נהוג להשתמש בסימונים הבאים: קבוצת המועמדים מסומנת ב-$A$, קבוצת הבוחרים מסומנת ב-$N=\{1,2,\cdots ,n\}$. לכל בוחר $i$ ב-$N$ יש יחס העדפות $P_{i}$ על $A$, כלומר, דירוג של המועמדים האפשריים. יחס ההעדפות הוא יחס סדר מלא שיכול להיות חזק או חלש. קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על $A$ מסומנת ב-$P\left(A\right)$, ואילו קבוצת יחסי ההעדפות החלשים מסומנת ב-$P^{*}\left(A\right)$. אם בוחר $i$ מעדיף את $x$ על $y$, נסמן $x>_{P_{i}}y$. אם בוחר $i$ מעדיף את $x$ על $y$ או אדיש ביניהם, נסמן $x\geq _{P_{i}}y$.

פונקציית רווחה חברתית היא שיטה לדרוג המועמדים על-פי העדפותיהם של הבוחרים. באופן פורמלי, זוהי פונקציה $\,F:P(A)^{n}\rightarrow P^{*}(A)$ המתאימה לכל וקטור $P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}\in P\left(A\right)^{n}$ של יחסי העדפות (חזקים) יחס העדפות חלש $F\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)\in P^{*}\left(A\right)$.

דוגמאות

• פונקציית רווחה חברתית נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר $i$ כך ש-$F\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)=P_{i}$ לכל $P_{1},\cdots ,P_{n}$. כלומר, בפונקציה כזאת הדירוג של המועמדים נקבע על ידי הדירוג של בוחר $i$, הדיקטטור.
• פונקציית רווחה חברתית מקיימת את תכונת הפה-אחד אם לכל שני מועמדים $a,b\in A$ ולכל וקטור העדפות $P=\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)$ שבו $a>_{P_{i}}b$ לכל $i$, מתקיים $a>_{F\left(P\right)}b$. כלומר, בפונקציה כזאת אם כל הבוחרים מעדיפים מועמד אחד על פני חברו, גם הקבוצה כולה תעדיף את המועמד הראשון.
• פונקציית רווחה חברתית מקיימת את כלל אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות אם לכל $a,b\in A$ ולכל $P=\left(P_{1},\cdots ,P_{n}\right)$ המקיים $a>_{F\left(P\right)}b$, מתקיים התנאי הבא: לכל $Q=\left(Q_{1},\cdots ,Q_{n}\right)$ שבו $a>_{Q_{i}}b\Leftrightarrow a>_{P_{i}}b$, מתקיים $a>_{F\left(Q\right)}b$. כלומר, בפונקציה כזאת אם אין שינוי בהעדפות של הבוחרים בין שני מועמדים אז גם אין שינוי בהעדפה של קבוצת הבוחרים כולה בין שני מועמדים.

משפט ארו מראה שפונקציית הרווחה החברתית היחידה המקיימת את תכונות הפה אחד והאי תלות באפשרויות לא רלוונטיות, ושהטווח שלה מכיל לפחות שלוש אפשרויות, היא פונקציית הרווחה החברתית הדיקטטורית.

ראו גם

• משפט ארו
• הקול היחיד הנייד

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946